电子电路基础及实验

• 任课教师：封晓华 / 应迪清 / 闻春敖 / 袁波
• 学期：2026-2027 秋冬学期

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分数构成

平时作业 25% + 实验 15% + 期末考试 60%（2026.9.14 首课宣布）。

实验部分

两个人交一份实验报告即可，分数相同，七八合成一份，共交七份。

万用表内阻 50Ω，可能要纳入计算

电压源一短路肯定坏，电流源短路也可能坏

课堂笔记

【FA】= For AI，即笔记中标注（FA）留给 AI 补充的条目；AI 补充内容以默认折叠的 details 块呈现，请重点复核。

2026.9.14

1.1 电路等效

电容与电感：隔直通交、通直隔交

• 电容：隔直通交。直流稳态下 \(i = C\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} = 0\)，电容相当于开路，隔断直流；交流频率越高容抗越小，交流越容易通过。
• 电感：通直隔交。电感是线圈，直流下 \(u = L\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} = 0\)，直流近似短路；交流频率越高感抗越大，交流越难通过。

阻抗

复阻抗 \(Z = R + \mathrm{j}X\)（笔记记作 \(Z = R + X\mathrm{j}\)）：实部 \(R\) 为电阻，虚部 \(X\) 为电抗，电抗可分为容抗、感抗。对 R、L、C 串联支路 \(Z = R + \mathrm{j}\left(\omega L - \dfrac{1}{\omega C}\right)\)，其中感抗 \(X_L = \omega L\)，容抗 \(X_C = \dfrac{1}{\omega C}\)；模与阻抗角为 \(|Z| = \sqrt{R^2 + X^2}\)，\(\varphi = \arctan\dfrac{X}{R}\)，单位为 Ω。适用条件：正弦稳态电路（相量法）。

【FA：阻抗匹配是什么】

一句话：让前后两级电路的阻抗"搭配好"，信号才能传得好。两个目的：

• 传最大功率：负载电阻等于电源内阻（\(R_L = R_S\)）时，负载分到的功率最大。直观理解：\(R_L\) 太大电流太小，太小电压又被内阻分掉，中间取等号最好（射频里推广为负载阻抗 = 源内阻抗的共轭，且效率只有 50%）。
• 信号不反射：信号沿电缆传到终端，若负载阻抗和电缆特性阻抗（常用 50 Ω）不相等，一部分信号会反射回来叠在原波形上，出现台阶、振铃；相等就没有反射。

低频、短线主要关心前者；高频（电缆长度与波长可比）主要关心后者——示波器高阻档/50 Ω 档的选择就是这个原理的应用。

【FA：示波器】

是什么：把电压随时间的变化画成波形的时域测量仪器，可直接读峰峰值 \(V_{pp}\)、周期/频率、上升时间、两路信号的相位差。它测的是电压，测电流要先经采样电阻转成电压。

三个基本系统：垂直系统定纵向刻度（V/div）和耦合方式（DC/AC/GND）；水平系统定横向扫描速度（s/div）；触发系统让每次扫描都从波形的同一起点开始，波形才稳定、不左右"跑动"。

探头：常用 10× 无源探头——内串 9 MΩ 电阻，与示波器 1 MΩ 输入电阻构成 10:1 分压，等效输入阻抗升到约 10 MΩ，减小对被测电路的干扰，代价是读数要乘 10；使用前在 1 kHz 方波校准端调补偿电容，把方波顶调平。

主要指标：带宽（幅值衰减到 70.7% 的频率；测得准要求带宽 ≥ 信号最高频率的 3~5 倍）、采样率、通道数。

基本操作：接探头并校准 → 选耦合方式 → 调垂直/水平刻度让波形充满屏幕 → 调触发电平让波形稳定 → 自动测量或光标读数。

【FA：示波器输入/输出阻抗的量级与阻抗匹配的关系】

• 示波器输入阻抗：高阻档约 \(1\ \mathrm{M\Omega}\) 并联十几 pF；经 10× 探头后约 \(10\ \mathrm{M\Omega}\)。做得很大是为了"不打扰"被测电路——并联进去几乎不取电流，测到的才是电路里的真实电压。
• 信号源输出阻抗：函数信号发生器等仪器典型为 \(50\ \Omega\)，且幅度按"接 50 Ω 负载"标定。若实际接高阻（1 MΩ 档），50 Ω 内阻几乎不分压，端口实际幅度约为设定值的 2 倍，读数要留意。
• 两者的关系就是阻抗匹配：低频用 1 MΩ 档（少取电流）；频率高到电缆长度与波长可比时，1 MΩ 对 50 Ω 电缆近似开路端，信号几乎全反射、波形出现台阶和振铃，这时要切到 50 Ω 输入档与电缆匹配，波形才真实。

一句话：1 MΩ 是为"不打扰电路"服务的，50 Ω 是为"吃掉反射"服务的。

【FA：电桥法测电阻】

电路结构（惠斯通电桥）：四个桥臂连成四边形——设 A、B、C、D 为四个顶点，AB 间为 R1、BC 间为 R2、AD 间为 R3、DC 间为待测电阻 Rx；电源接在一对对角顶点 A、C 之间，灵敏检流计 G 接在另一对对角顶点 B、D 之间。

平衡条件：调节可调桥臂（如 R3）使检流计示零，此时 B、D 两点等电位，有

\[\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_x} \quad\Rightarrow\quad R_x = \frac{R_2 R_3}{R_1}\]

待测电阻由三个已知（精密）电阻算出，结果与电源电压、电源内阻无关。

为什么准确：零示法——平衡时检流计支路无电流，读数不依赖电表精度，只取决于三个标准电阻的精度；平衡时对角线支路两端等电位，去掉或短接都不影响其余支路（等效思想）。

延伸一句：开尔文双臂电桥测毫欧级小电阻（消除引线电阻影响）；桥臂换成复阻抗的交流电桥可测电感、电容。

高频电阻等效电路：串联等效与并联等效

实际电阻器在高频下不再是纯电阻，必须计及寄生电容与寄生电感，有两种常用等效模型（笔记原图）：

• 串联等效：图：电阻 R、电容 C、电感 L 三个元件依次首尾相连组成一条支路，两端为引出端。
• 并联等效：图：R、L、C 三个元件并排接在两根公共导线之间，构成三条并联支路。

寄生参数的来源：L 来自引线电感（绕线电阻本体就是线圈，电感效应尤其明显）；C 来自引线间、匝间的寄生电容。

低频退化为纯电阻：低频（近似直流）时 \(\omega L\) 与 \(1/(\omega C)\) 都不起作用，两种等效都退化为纯电阻 R；频率升高后 C、L 的作用凸显，等效阻抗显著偏离标称值（见下一条 LCR 表的实测规律）。具体选用哪种等效模型取决于电阻类型与工作频段，模型参数由实测拟合确定。

LCR 表（RCL 表）测量的频率效应

笔记结论：用 RCL 表测电阻，测试频率越高，测得的等效电阻越小，因为 C、L 的作用凸显；低频（近似直流）时 C、L 作用不明显，测得的才是纯电阻。

解释：以并联寄生电容为例，频率升高时容抗 \(\dfrac{1}{\omega C}\) 变小，电容支路的分流增大，整体等效阻抗随之减小；对低阻值电阻则是串联寄生电感的感抗 \(\omega L\) 随频率上升逐渐占主导。因此 LCR 表通常提供 100 Hz / 1 kHz / 10 kHz / 100 kHz 等多档测试频率，使用时读数必须注明测试频率和等效模型（串联/并联），否则数值没有可比性。

导线的高频等效电路

一段实际导线在高频下等效为电阻 R 与电感 L 的串联（笔记原图：电阻 R 与电感 L 串联成一条支路）。导线本身有微小电阻；同时任何载流导线周围都存在磁场、储存磁能，表现为分布电感（直导线约 1 nH/mm 量级）。导线缠绕成线圈后磁通叠加、电感显著增大——"导线缠绕即电感"正是电感器的构造原理。因此频率足够高时，一根导线不再等于短路：PCB 走线、杜邦线、过孔都会显现电感效应，影响电路工作。

1.2 电路抽象

集总参数元件抽象原则

把实际电磁器件抽象为集总参数元件（理想 R、C、L 加理想导线），需要满足四条（集总事物约定）：

1. \(\dfrac{\partial q}{\partial t} = 0\)：任何时刻，元件与节点上不积累电荷，流入等于流出——这是 KCL（基尔霍夫电流定律）成立的前提；
2. \(\dfrac{\partial \psi}{\partial t} = 0\)：元件外部没有随时间变化的磁通，磁通变化被限制在元件内部——这是 KVL（基尔霍夫电压定律）成立的前提；
3. \(l \ll \lambda\)：系统最大尺度 l 远小于信号波长 λ，即信号沿系统传播的时间远小于信号自身变化的时间，电磁作用可视为瞬时建立；
4. 单一电磁特性：每个元件只表现出一种电磁特性（纯电阻性、纯电容性或纯电感性），不与其他特性混杂。

四条都满足，才能把系统抽象为集总电路并用 KCL/KVL 分析；否则必须进入分布参数（传输线）或电磁场层面的分析。（背景补充：该抽象对应 Agarwal & Lang《模拟和数字电子电路基础》第 1 章"电路抽象"的"集总事物约定"。）

功率的分贝表示

功率单位 dBm

dBm 是以 1 mW 为基准功率的绝对功率电平单位：

\[P(\mathrm{dBm}) = 10\,\lg\,\frac{P}{1\,\mathrm{mW}}\]

即笔记公式 a mW = 10 lg a dBm。常用换算：1 mW → 0 dBm；0.1 mW → -10 dBm；2 mW → 3 dBm；10 mW → 10 dBm；1 W → 30 dBm。dBm 值可直接加减：功率经过增益 n dB 的放大器，dBm 值加 n；经过衰减 n dB 的网络，dBm 值减 n。适用：射频与通信系统中习惯用 dBm 表示绝对功率大小（相对比值则用无量纲的 dB）。

拓展（FA）：2023 年诺贝尔物理学奖——阿秒激光

【FA：2023 年诺贝尔物理学奖——阿秒激光】

是什么：2023 年诺贝尔物理学奖授予 Agostini、Krausz、L'Huillier 三人，表彰他们产生阿秒（\(10^{-18}\) 秒）光脉冲、用来观察电子运动。原子中电子绕核运动恰好就是上百阿秒的尺度——以前的飞秒激光（\(10^{-15}\) 秒）只能"冻结"原子核的运动，阿秒脉冲第一次让人看清电子怎么动。

怎么造的（三步模型）：强激光把原子最外层电子拉出来 → 电子在光场中被加速、获得能量 → 光场反向时把电子推回母原子、复合，能量以一个极紫外光子放出。让大量这样的过程相位同步地叠加，就压缩成阿秒脉冲（1987 年发现高次谐波，2001 年产生并表征阿秒脉冲链、分离出单个阿秒脉冲）。

能干什么：直接测量电子电离、分子内电荷迁移、电流通断等超快过程。和示波器把电压波形变成可见图像是一个思想——给快过程装"时域快门"。

2026.9.16

2.1 电路中的基本物理量

电流与电压的参考方向

• 电流参考方向：箭头表示；电压参考方向：单独箭头或 \(+\)、\(-\) 极性表示。
• 参考方向是人为任意假定的正方向：计算结果为正，实际方向与参考方向相同；为负则相反。

关联参考方向

\(U\)、\(I\) 参考方向一致（电流从电压参考方向的 \(+\) 端流入元件）称为关联参考方向。此时标注其中一个即可推出另一个（标一个即可）。

一端口电路（功率结论的适用前提）

两个引出端钮，从一个端钮流入的电流与从另一端钮流出的电流相同（同一电流贯穿），称为一端口电路；吸收/发出功率的结论适用于一端口电路。

功率：吸收还是发出

• 关联参考方向下 \(p = ui\) 视为吸收的功率：\(p > 0\) ～ 负载 ～ 吸收功率；\(p < 0\) ～ 电源 ～ 发出功率（笔记：关联 ～ 功率为正 ～ 负载 ～ 吸收；负 ～ 电源 ～ 发出）。
• 非关联参考方向下 \(p = ui\) 视为发出的功率：\(p > 0\) ～ 电源 ～ 发出功率。
• 笔记图：电压源 \(U_S\)（左 \(+\) 右 \(-\)），电流 \(I\) 的参考方向自 \(+\) 端流出——对电源而言 \(U_S\) 与 \(I\) 非关联。
• 简化判断：看实际方向——实际电压方向（\(+ \to -\)）与实际电流方向相同 ～ 吸收功率，相反 ～ 发出功率。

例：电阻串联电压源支路的电压

图：一条支路，电流 \(I\) 自左向右，先经电阻 \(R\)，再经电压源 \(U_S\)（左 \(+\) 右 \(-\)），支路总电压 \(U\) 的参考极性取左 \(+\) 右 \(-\)。

解：电阻 \(R\) 的电压与 \(I\) 关联，压降取正 \(IR\)（非关联则为负）；\(U_S\) 的参考方向与 \(U\) 相同为加：

\[U = IR + U_S\]

规则：各部分电压与总电压 \(U\) 方向相同为加、相反为减。

2.3 电路元件及其特性

（1）电阻

电阻与电导

电导 \(G = \dfrac{1}{R}\)，单位 S（西门子）。补充：电阻单位为 Ω（欧姆）；关联方向下线性电阻满足欧姆定律 \(u = Ri\)，电导越大导电能力越强。

（2）电容

电容的分类：线性/非线性、时变/非时变

• 1° 线性电容：\(q = Cu_C\)（电荷与电压成正比，\(C\) 为常数）；
• 2° 非线性电容：\(C\) 与 \(u\) 有关（库伏特性不是过原点的直线）；
• 3° 时变/非时变电容：看库伏特性（\(q\)-\(u\) 特性）是否随时间变化。

电容的伏安关系（重点）

在关联方向下：

\[i_C(t) = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} \;\xrightarrow{\ \text{线性、非时变}\ }\; C\,\frac{\mathrm{d}u_C(t)}{\mathrm{d}t}\]

电压对时间求导，意味着电流与电压变化率成正比：直流稳态下电压不变，\(i_C = 0\)，直流不能通过电容（隔直通交）。

电容电压的积分形式：记忆元件

对伏安关系积分得：

\[u_C(t) = u_C(t_0) + \frac{1}{C}\int_{t_0}^{t} i_C(\xi)\,\mathrm{d}\xi\]

\(u_C(t)\) 与 \(t_0\) 时刻的电压有关（依赖历史），故电容称为记忆元件。

电容充电过程中吸收的能量

\[W_C = \int_{t_0}^{t} u_C(\xi)\,i_C(\xi)\,\mathrm{d}\xi = \frac{1}{2}C\left[u_C^2(t) - u_C^2(t_0)\right]\]

当 \(u_C(t_0) = 0\) 时：

\[W_C = \frac{1}{2}Cu_C^2 = \frac{1}{2}qu_C = \frac{1}{2}\frac{q^2}{C}\]

补充：能量储存在电容的电场中；理想电容只储能不耗能，放电时把储存的能量全部放回电路。

（3）电感（体现磁场储能）

线性电感与磁链

1° 线性电感：磁链 \(\psi\)（单位 Wb 韦伯，读音 psi）与电流成比例：

\[\psi = Li_L\]

电感 \(L\) 单位 H（亨利）。

非线性/时变电感

• 2° 非线性电感：\(L\) 可变（\(\psi\)-\(i\) 特性不是过原点的直线）；
• 3° 时变/非时变电感：看韦安特性（\(\psi\)-\(i\) 特性）是否随时间变化。

电感的伏安关系

关联方向条件下：

\[u_L(t) = \frac{\mathrm{d}\psi(t)}{\mathrm{d}t} \;\xrightarrow{\ \text{线性、非时变}\ }\; L\,\frac{\mathrm{d}i_L(t)}{\mathrm{d}t}\]

电压与电流变化率成正比：直流稳态时 \(u_L = 0\)，电感相当于短接（通直隔交）。

电感电流的积分形式：记忆元件

积分得：

\[i_L(t) = i_L(t_0) + \frac{1}{L}\int_{t_0}^{t} u_L(\xi)\,\mathrm{d}\xi\]

\(i_L(t)\) 与 \(t_0\) 时刻的电流有关，故电感也是记忆元件。

电感储存的能量

当 \(i_L(t_0) = 0\)（从零电流充磁到 \(i_L\)）时，储能：

\[W_L = \frac{1}{2}Li_L^2\]

补充：能量储存在电感的磁场中；理想电感只储能不耗能。

【FA：电感的应用——浪涌抑制】

为什么有浪涌：电感电流不能突变。开关突然断开含电感电路（继电器线圈、电机绕组等）时 \(\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}\) 极大，由 \(u = L\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}\) 产生远高于电源电压的电压尖峰，会烧蚀触点、击穿器件。

怎么办——给电流留一条缓变的通路：

• 续流二极管：与线圈反向并联，断电后电流经二极管慢慢衰减，尖峰被压在约一个二极管压降——继电器驱动最常用；
• 也可以用 RC 吸收电路、压敏电阻/TVS 钳位，或用滤波电感挡住电网浪涌。

本质：限制 \(\dfrac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}\)，浪涌电压就上不去。

（4）独立电源

电压源/电流源与理想电压源/理想电流源

笔记：实际电压/流源 \(\neq\) 理想电压/流源。

• 理想电压源：端电压恒为 \(u_S\)，与流过的电流无关（内阻为零）；
• 理想电流源：输出电流恒为 \(i_S\)，与端电压无关（内阻无穷大）；
• 实际电源有内阻：实际电压源 = 理想电压源串联内阻 \(R_S\)（端电压随输出电流增大而下降）；实际电流源 = 理想电流源并联内阻 \(R_S\)（输出电流随端电压升高而减小）。

【FA：独立电源与受控电源的区别】

• 独立电源：源电压 \(u_S\) / 源电流 \(i_S\) 由电源自身决定，与电路其他支路的电压电流无关，作为电路的输入（激励）；符号为圆形（电压源标 \(+\)/\(-\)，电流源标箭头）。

• 受控电源：提供的电压或电流受电路中某处的电压或电流（控制量）控制，随控制量变化；符号为菱形。按控制量与被控量分四种：

• VCVS（电压控制电压源）：\(u = \mu u_c\)

• VCCS（电压控制电流源）：\(i = g\,u_c\)
• CCVS（电流控制电压源）：\(u = r\,i_c\)

• CCCS（电流控制电流源）：\(i = \beta\, i_c\)

• 关键区别：独立源"无条件"提供规定的电压/电流；受控源的输出完全由控制量决定——控制量为零则输出为零。受控源用来刻画晶体管、运放等器件内部的放大/控制关系；电路分析中受控源既可以吸收也可以发出功率，但不能独立作为激励。

2026.9.23

2.3（续）独立电源：u-I 特性与受控电源

理想电压源

图：\(u\)-\(I\) 特性曲线，纵轴 \(u\)、横轴 \(I\)，特性为一条水平线，高度 \(U_S\)（端电压与流过的电流无关）；电路符号为圆圈，标 \(+\)、\(-\) 极性与 \(U_S\)。

非零值的理想电压源不可短路，否则矛盾——短路处 \(U = 0\)，与 \(U_S \ne 0\) 冲突。

实际电压源

图：\(u\)-\(I\) 特性为一条随 \(I\) 增大而下降的直线，纵轴截距为 \(U_S\)。

\[U = U_S - Ir, \qquad r = \tan\alpha\]

其中 \(\alpha\) 为特性线相对横轴的倾角；内阻 \(r\) 越小，直线越平，越接近理想电压源。

理想电流源

图：\(u\)-\(I\) 特性曲线，纵轴 \(u\)、横轴 \(I\)，特性为一条垂直线，横坐标 \(I_S\)（输出电流与端电压无关）；电路符号为圆圈，两端标 \(u\)（上 \(+\) 下 \(-\)）与 \(I_S\)。

非零值理想电流源不可开路。（实际电流源相当于理想电流源并联一个 \(r\)。）

（负载越大，外部电流越小。）

\(\therefore\) 希望 \(r\) 越大越好：\(r\) 越大，分流越少。

实际电流源

图：\(u\)-\(I\) 特性为一条随 \(u\) 增大而下降的直线，横轴截距为 \(I_S\)。

\[I = I_S - \frac{U}{r}, \qquad r = \tan\beta\]

受控电源：四种排列组合 XCXS

受控电源：输出 \(I\)/\(U\) 受其他支路的 \(I\)/\(U\) 控制。按"控制量类型 + 被控源类型"共有四种排列组合，记作 X C X S：

• 第一个 C = control（控制量），第二个 S = source（被控源）；
• 对 X：X = C 为电流（current），X = V 为电压（voltage）。

即 CCCS（电流控制电流源）、CCVS（电流控制电压源）、VCCS（电压控制电流源）、VCVS（电压控制电压源）。

【FA：g、μ、r、γ 四个系数】

四种受控源的表达式与系数（笔记记 \(\gamma\)，有的教材记 \(\beta\) 或 \(\alpha\)，同一意思；下标 1 为控制支路、2 为受控支路）：

• VCVS：\(u_2 = \mu\, u_1\)，\(\mu\) 无量纲——电压放大倍数；
• VCCS：\(i_2 = g\, u_1\)，\(g\) 具电导量纲（单位 S）——转移电导（互导）；
• CCVS：\(u_2 = r\, i_1\)，\(r\) 具电阻量纲（单位 Ω）——转移电阻（互阻）；
• CCCS：\(i_2 = \gamma\, i_1\)，\(\gamma\) 无量纲——电流放大倍数（即上图 (d) 中的 \(\alpha\)，课本称"转移电流比"）。

共同点：受控源输出由控制量按比例决定，控制量为零则输出为零。

硬件实现 CCCS：半导体三极管

【FA：为什么三极管能实现 CCCS】

三极管（BJT）工作在放大区时：基极输入一个小电流 \(i_B\)，集电极就流过 \(i_C \approx \beta\, i_B\)——输出电流由输入电流按固定倍数"复制放大"；而且在放大区里 \(i_C\) 几乎不随 \(u_{CE}\) 变化，具有电流源"输出电流稳"的特征。所以放大区的三极管正好用 CCCS 建模：控制量是基极电流 \(i_B\)，被控量是集电极电流 \(i_C\)，比例系数就是电流放大倍数 \(\beta\)——这也是"电流控制电流源"名字的由来。

2.4 基尔霍夫定律与拓扑约束

概念

① 支路：串联（的一段电路），各元件 \(I\) 相等； ② 节点：\(\ge 3\) 支路的连接点； ③ 回路：若干支路构成的闭合路径； ④ 网孔回路：内部无支路的回路； ⑤ 拓扑图：用点和线段表示电路，可标方向 \(\Rightarrow\) 有向图。

基尔霍夫定律

KCL（电流定律）：对节点，流入电流 = 流出电流：

\[\sum_{k=1}^{n+m} I_k = 0 \qquad \text{（流入为负，流出为正）}\]

物理意义：集总参数电路中，电流具有连续性。

KVL（电压定律）：对回路，电压代数和为 0：

\[\sum U_k = 0\]

物理意义：集总参数电路中，电位具有单值性。

拓展：KCL 由节点推广到电路的任一闭合面（用一个面把多个节点围起来）。

KVL 的符号规则：必须规定绕行方向，电压方向与绕行方向相同为正、相反为负；电压源电动势方向与绕行方向一致取正（电动势方向：\(- \to +\)）。

另一种表述：压降代数和 = 电压源电动势代数和。

线性无关的 KCL 和 KVL 方程

概念：

① 平面图：能够画在平面上，且所有支路（可以）没有交点； ② 连通图：任意两点间至少有一条连通路径； ③ 子图：（原图的节点与支路取）子集； ④ 树：特殊子图——本身连通，包含连通图 G 的所有节点，不包含回路； ⑤ 树支：组成树的支路；不在树上的支路称连支（链支）。树支数目一定，具体选哪些支路可以不同（树支 = 节点数 \(- 1\)）。设连通图 G 支路数 \(b\)、节点数 \(n\)，则树支数

\[n_t = n - 1\]

连支数

\[l = b - n + 1\]

⑥ 单连支回路：即独立回路、基本回路，数目 \(= l = b - n + 1\)（用来列独立 KVL）； ⑦ 网孔：针对平面电路，内部无支路的回路，网孔数 \(m = b - n + 1\)。

若为平面图，可按照网孔列独立 KVL。

有电流源的网孔：单独处理。

【FA：有电流源的网孔怎么单独处理】

网孔电流法里各网孔电流是设出来的未知量，KVL 方程里电阻电压都用网孔电流表示；但电流源两端的电压是未定的，没法直接写进 KVL——所以要单独处理，分两种情况：

• 电流源在外边界上（只属于一个网孔）：该网孔电流直接由电流源确定（等于 \(\pm I_S\)，看方向一致还是相反），这个网孔不必再列 KVL；
• 电流源在两个网孔的公共支路上：把两个网孔拼成一个超网孔，沿超网孔外圈列一个 KVL（跳过电流源所在支路），再补一个辅助方程"两网孔电流之差 = \(I_S\)"，未知数与方程数刚好配平。

2026.10.10（4.3 电路定理 · 正弦稳态分析开篇）

4.3 电路定理

1. 叠加定理：独立电源单独作用（电压源符号——短路；电流源符号——断开）。

所以可以先拆开算，再把结果叠加。必须是线性电路。

2. 替代定理：若已知支路 \(k\) 为 \(U_k\)、\(I_k\)，则不管元件，可以用 \(U_S = U_k\) 电压源或 \(I_S = I_k\) 电流源置换。

条件：唯一解、无耦合关系（受控源）；线性非线性、时变非时变均成立。

3. 戴维宁定理：线性含源一端口电路，用电压源 + 电阻（实际电压源）等效。

\(U_0\) = 开路电压，\(R_0\) = 独立电源置零等效电阻。

若含受控源求 \(R_0\)：1° 加压法：独立源置零，施独立电压/流，得 \(I/U\)，\(R_0 = \dfrac{U}{I}\)；2° 开路短路法（万用表）：\(R_0 = \dfrac{U_0}{I_d}\)

4. 诺顿定理：线性含源一端口电阻电路，用电流源 \(I_d\) + \(R_0\) 并联等效。

\(I_d\) = 短路电流，\(R_0\) = 独立电源置零。

5. 最大功率传输定理：\(R_L = R_0\) 时，\(P_{max} = \dfrac{U_0^2}{4R_0}\)

五、线性动态电路的正弦稳态分析

5.1 正弦交流电路

（本页记到这里，后续内容见 10.12、10.14。）

2026.10.12（正弦交流电量的相量表示）

虚数：因为与电流 \(I\) 区分，一般用 \(j\)。

相量：上加一点，为复数：\(\dot{U} = U\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi_u}\)。

由 \(\sqrt{2}U\mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t + \varphi_u)} = \sqrt{2}U\cos(\omega t + \varphi_u) + \mathrm{j}\sqrt{2}U\sin(\omega t + \varphi_u)\)，正弦电压取虚部：

\[u(t) = \operatorname{Im}\left[\sqrt{2}U\,\mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t + \varphi_u)}\right]\]

则对 \(u(t) = \sqrt{2}U\sin(\omega t + \varphi_u) \Rightarrow \dot{U} = U\angle\varphi_u\)，即有效值 ∠ 初相；同理 \(i(t) = \sqrt{2}I\sin(\omega t + \varphi_i) \Rightarrow \dot{I} = I\angle\varphi_i\)。

计算：\(10\angle 60° = 5 + \mathrm{j}8.66\)。先转相量，复数相加，再转回来求 \(|U|\) 和 \(\arg\)。

基本元件的相量模型：

1. 电阻：\(i(t) = \sqrt{2}I\sin(\omega t + \varphi_i) = \operatorname{Im}\left[\sqrt{2}\,\dot{I}\,\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\right]\)（FA）

$\(\dot{U} = R\dot{I} \qquad \text{结论 } U = IR,\ \varphi_u = \varphi_i \text{（电压电流同相）}\)$

1. 电感：\(\dot{U} = \mathrm{j}\omega L\dot{I}\)，\(\varphi_u = \varphi_i + 90°\)，电压超前电流 90°。感抗 \(X_L = \omega L = 2\pi f L\)（欧姆）

2. 电容（笔记未写，补充见 FA）

3. 基尔霍夫定律（相量形式）：\(\sum \dot{U}_k = 0\)，\(\sum \dot{I}_k = 0\)

【FA：电阻相量的推导与电容的相量模型】

• 电阻：\(u = Ri = \sqrt{2}RI\sin(\omega t + \varphi_i)\)，而 \(\operatorname{Im}\left[\sqrt{2}R\dot{I}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\right]\) 的虚部正是它，故 \(\dot{U} = R\dot{I}\)——纯电阻不改变相位。
• 电容：\(i = C\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\)，相量域里"求导"就是"乘 \(\mathrm{j}\omega\)"，故 \(\dot{I} = \mathrm{j}\omega C\dot{U}\)，即 \(\dot{U} = \dfrac{1}{\mathrm{j}\omega C}\dot{I} = -\mathrm{j}\dfrac{1}{\omega C}\dot{I}\)：电流超前电压 90°，容抗 \(X_C = \dfrac{1}{\omega C} = \dfrac{1}{2\pi f C}\)（欧姆）。与电感对照记：电感电压超前、电容电流超前；\(\mathrm{j}\omega L\) 与 \(\dfrac{1}{\mathrm{j}\omega C}\) 随频率的行为恰好相反（感抗随 \(f\) 升高、容抗随 \(f\) 降低）。（FA 补充）

2026.10.14（谐振）

在一定 \(f\) 下，我们关注的某个参量显著增大。那么如何谐振？① 把 \(f\) 调到谐振 \(f\)；② \(f\) 不变，调系统参数，改变谐振 \(f\)。

e.g. 光学谐振腔 F-P（FA）

笔记原话：完了，太久不听电基，已经听不懂了。

总结：

	并联谐振	串联谐振
条件	\(B_L = B_C\)	\(X_L = X_C\)
阻抗/导纳	导纳模最小（\(Y = G\)），\(U\) max、\(I\) min	阻抗模最小（\(Z = R\)），\(I\) max、\(U\) min
支路	\(I_L = I_C > I_{总}\)	\(U_L = U_C > U_{总}\)
\(Q\)	\(\omega_0 L / R\)	\(\omega_0 C / G\)

【FA：光学谐振腔 F-P 与 Q 值公式辨析】

• F-P 腔（Fabry–Pérot）：两块平行部分反射镜组成的腔，光在腔内多次往返，只有满足驻波条件（腔长为半波长整数倍）的频率才能相长干涉增强——是"调系统参数改变谐振频率"（方式②）的典型例子，移动镜片即调谐振频率。
• Q 值：品质因数，衡量谐振峰的尖锐程度（\(Q\) 越大，通频带越窄、选择性越好，谐振时支路过电压/过电流越显著）。笔记表中并联 \(Q = \omega_0 L/R\) 是"线圈串电阻再与电容并联"实用模型的公式；但串联一栏的 \(Q = \omega_0 C/G\) 与常见教材（串联 \(Q = \omega_0 L/R\)、GCL 并联 \(Q = \omega_0 C/G\)）对不上，疑为两栏互串【?】，考试以老师课件为准。（FA 补充）

2026.10.21（理想变压器 · 三相交流电路 · 六、非正弦信号与频率特性分析）

电基，落得太多，听懂多少算多少吧。

理想变压器

一次侧（接电源，匝数 \(N_1\)）；二次侧（接负载，匝数 \(N_2\)）。

图：变压器电路符号——左侧一次侧回路标 \(u_1\)、\(i_1\)，右侧二次侧回路标 \(u_2\)、\(i_2\)，中间两个相交的圆圈表示耦合绕组。

理想条件：无能量损耗、无漏磁通、无……（没看见）。

三相交流电路

（供电：单相、三相、多相供电。）三相制节省材料、节省有色金属。

电源：振幅相等、频率相同、相位差依次为 120°。

基本联结：三角形 / 星形（Y 形）。

三相四线制与三线制。

六、非正弦信号与频率特性分析

6.1 非正弦周期信号分解

激励源可能是非正弦的；非线性元件也会导致正弦激励产生非正弦响应（非正弦波，仍按周期规律变化）。非周期：傅里叶变换 \(\Rightarrow\) 频域表示。

\[f(t) = f(t + nT) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos n\omega_1 t + b_n\sin n\omega_1 t\right) \qquad \text{（满足狄里赫利条件，FA）}\]

\[a_0 = \frac{2}{T}\int_0^T f(t)\,\mathrm{d}t = \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\,\mathrm{d}t\]

\[a_n = \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\cos n\omega_1 t\,\mathrm{d}t, \qquad b_n = \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} f(t)\sin n\omega_1 t\,\mathrm{d}t\]

【FA：狄里赫利条件】

周期函数能展开为傅里叶级数的充分条件（狄里赫利条件）：在一个周期内只有有限个第一类间断点、只有有限个极值点（且绝对可积）。工程上常见信号（方波、锯齿波、整流波等）都满足。展开后 \(\omega_1 = \dfrac{2\pi}{T}\) 为基波角频率，其余各项为 \(n\) 次谐波；直流分量即 \(a_0/2\)（一周期的平均值）。（FA 补充）

听不下去了，没招了，连上四节课好累啊……