概率论与数理统计¶

任课教师：郑志浩
学期：2026-2027 秋冬学期

分数构成¶

作业 25% + 到课 5% + 小测 20% + SPOC 10% + 期末 40%（2026.9.16 首课宣布）。其中 SPOC 含四个小测和一个讨论（黄炜）。

课堂笔记¶

【FA】= For AI，即笔记中标注（FA）留给 AI 补充的条目；AI 补充内容以默认折叠的 details 块呈现，请重点复核。

2026.9.16¶

1.1 样本空间随机事件¶

【FA：样本空间与随机事件（补充定义）】

样本空间 \(S\)：随机试验所有可能结果（样本点）构成的集合；随机事件：样本空间的子集，事件发生即其所含样本点之一出现。

互斥（互不相容）事件

\(A \cap B = \varnothing\)：\(A\)、\(B\) 不能同时发生。互斥 \(\Rightarrow\) 可加：\(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)。

对立事件（逆事件）

\(A \cup B = S\) 且 \(A \cap B = \varnothing\)（"非此即彼"）；记作 \(\overline{A}\) 或 \(A^c\)。补充：对立必互斥，互斥不一定对立（还须并起来为 \(S\)）；\(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\)。

差事件

\[A - B = A \cap \overline{B}\]

即 \(A\) 发生且 \(B\) 不发生。

德摩根律

\[\overline{\bigcup_{j=1}^{n} A_j} = \bigcap_{j=1}^{n} \overline{A_j}, \qquad \overline{\bigcap_{j=1}^{n} A_j} = \bigcup_{j=1}^{n} \overline{A_j}\]

即"并的补等于补的交，交的补等于补的并"；对可列个事件同样成立。

1.2 频率与概率¶

频率

\[f_n(A) = \frac{n_A}{n} = \frac{A\ \text{发生的次数}}{\text{试验总次数}}\]

补充：频率随试验次数 \(n\) 波动，但当 \(n\) 充分大时稳定地在某个常数附近摆动（频率的稳定性），该常数即概率——这是以频率定义概率的客观基础。

概率的公理化定义

\(P(A)\) 为事件 \(A\) 的概率，若它作为集合函数满足：

非负性：\(P(A) \ge 0\)；
规范性：\(P(S) = 1\)；
可列可加性：对两两互斥的可列个事件（\(\forall i \ne j,\ A_iA_j = \varnothing\)），\(P\left(\bigcup_{j=1}^{+\infty} A_j\right) = \sum_{j=1}^{+\infty} P(A_j)\)。

概率的性质：可加性、补事件与零概率

可列可加性：\(P\left(\bigcup_{j=1}^{+\infty} A_j\right) = \sum_{j=1}^{+\infty} P(A_j)\)（由公理直接得到）；
\(P(A) + P(\overline{A}) = 1\)；
\(P(A) = 0\) 不一定不可能，\(P(A) = 1\) 不一定必然。解释：几何概型中"恰好取中某一点"的概率为 \(0\) 却可能发生（连续情形单点不占测度）；其对面的概率为 \(1\) 却不必然发生。

减法公式 \(P(B-A) = P(B) - P(AB)\)

对任意事件 \(A\)、\(B\) 成立。\(A \subset B\) 时退化为 \(P(B-A) = P(B) - P(A)\)，且由此可得单调性 \(P(B) \ge P(A)\)。

推导方法：1° 维恩图——\(B\) 挖去与 \(A\) 重叠的部分剩 \(B - A\)，即 \(B = (B - A) \sqcup AB\)；2° 理论推导见下方折叠块。

【FA：减法公式的理论推导】

\(B\) 中任一样本点要么同时属于 \(A\)（此时属 \(AB\)），要么不属于 \(A\)（此时属 \(B - A\)），且两部分互不相交，即 \(B = (B - A) \sqcup AB\)。由可加性 \(P(B) = P(B - A) + P(AB)\)，移项即得。

一般加法公式 \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)\)

对任意事件 \(A\)、\(B\) 成立。\(A\)、\(B\) 互斥时 \(P(AB) = 0\)，退化为 \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)（呼应"互斥 \(\Rightarrow\) 可加"）。

推导（FA 补全）见下方折叠块：分解 \(A \cup B = (B - A) \sqcup A\)。

【FA：加法公式的推导】

\(A \cup B\) 中任一样本点或者在 \(A\) 中，或者不在 \(A\) 中而在 \(B\) 中（属 \(B - A\)）；且 \(A\) 与 \(B - A\) 互斥（不可能"在 \(A\) 中又不在 \(A\) 中"）。由可加性并代入减法公式：

\[P(A \cup B) = P(B - A) + P(A) = \left[P(B) - P(AB)\right] + P(A)\]

容斥原理（加法公式的推广）

\[P\left(\bigcup_{j=1}^{n} A_j\right) = \sum_{j=1}^{n} P(A_j) - \sum_{1 \le i < j \le n} P(A_iA_j) + \cdots + (-1)^{n-1} P(A_1A_2 \cdots A_n)\]

补充 \(n = 3\) 情形：\(P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)\)。

1.3 等可能概型¶

古典概型：有限性 + 等可能性。

经典例题：(1) 超几何分布　(2) 抽签公平问题　(3) 生日问题（例题课本上都有，【见课本】第一章 §1.3）。

【FA：三个经典例题速览】

超几何分布：\(N\) 件产品中有 \(M\) 件次品，不放回地任取 \(n\) 件，则抽得次品数 \(X\) 满足 \(P(X = k) = \dfrac{\dbinom{M}{k}\dbinom{N-M}{n-k}}{\dbinom{N}{n}}\)。
抽签公平问题：\(n\) 支签中 \(k\) 支为中签，众人依次抽签不放回，则无论第几个抽，中签概率恒为 \(\dfrac{k}{n}\)——抽签不必争先后。
生日问题：一间屋里 \(n\) 个人中至少两人生日相同的概率为 \(1 - \dfrac{365 \times 364 \times \cdots \times (365 - n + 1)}{365^n}\)；\(n = 23\) 时已超过 \(50\%\)。

2026.9.23¶

1.4 条件概率¶

条件概率定义

\[P(B \mid A) = \frac{P(AB)}{P(A)}\]

条件概率同样满足概率的基本性质（非负、规范、可加），例如可加性在条件概率下为

\[P(B \cup C \mid A) = P(B \mid A) + P(C \mid A) - P(BC \mid A)\]

乘法公式

\[P(AB) = P(A)P(B \mid A) = P(B)P(A \mid B)\]

推广到三个事件：

\[P(ABC) = P(A)P(B \mid A)P(C \mid AB)\]

划分

\(B_1, B_2, \ldots, B_n\) 是 \(S\) 的一个划分，若 ① \(B_iB_j = \varnothing\)（\(i \ne j\)）；② \(B_1 \cup B_2 \cup \cdots \cup B_n = S\)。

全概率公式

\[P(A) = \sum_{j=1}^{n} P(B_j)P(A \mid B_j)\]

贝叶斯公式

\[P(B_k \mid A) = \frac{P(B_k A)}{P(A)} = \frac{P(B_k)P(A \mid B_k)}{\sum\limits_{j=1}^{n} P(B_j)P(A \mid B_j)}\]

【FA：全概率与贝叶斯公式的推导和直观】

推导：由划分得 \(A = AS = A(B_1 \cup \cdots \cup B_n) = AB_1 \cup \cdots \cup AB_n\)，且诸 \(AB_i\) 两两互斥，故由可加性与乘法公式

\[P(A) = \sum_{j=1}^{n} P(AB_j) = \sum_{j=1}^{n} P(B_j)P(A \mid B_j)\]

贝叶斯公式就是"条件概率定义 + 把全概率公式代入分母"。直观：全概率是由因推果——"结果" \(A\) 按各条"原因" \(B_j\) 分摊加权；贝叶斯是执果索因——观察到结果 \(A\) 后反推它由各原因 \(B_k\) 引起的概率（要求 \(P(A) > 0\)）。

e.g.（短信问题）某学生每天收到 \(i\) 条短信的概率为 \(\dfrac{\lambda^i e^{-\lambda}}{i!}\)，记为 \(B_i\)（即 \(B_i\) = "每天收到 \(i\) 条短信"，诸 \(B_i\) 构成 \(S\) 的一个划分）；每条短信阅读概率为 \(p\)（各条是否阅读相互独立）。求 \(P(\text{每天阅读 } k \text{ 条短信})\)（设为 \(A\)）。

收到 \(n\) 条时恰阅读 \(k\) 条的条件概率为二项分布 \(\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\)，由乘法公式并对划分 \(\{B_n\}\) 用全概率公式：

\[P(A) = P(B_k)\,p^k + P(B_{k+1})\binom{k+1}{k}p^k(1-p) + \cdots = \sum_{n=k}^{+\infty} P(B_n)\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\]

代入 \(P(B_n) = \dfrac{\lambda^n e^{-\lambda}}{n!}\) 并整理：

\[P(A) = \sum_{n=k}^{+\infty} \frac{\lambda^n e^{-\lambda}}{n!} \cdot \frac{n!}{k!\,(n-k)!}\, p^k (1-p)^{n-k} = \frac{(\lambda p)^k e^{-\lambda}}{k!} \sum_{n=k}^{+\infty} \frac{[\lambda(1-p)]^{n-k}}{(n-k)!}\]

由 \(e^x = \sum\limits_{i=0}^{+\infty} \dfrac{x^i}{i!}\) 展开得

\[P(A) = \frac{(\lambda p)^k e^{-\lambda}}{k!}\, e^{\lambda(1-p)} = \frac{(\lambda p)^k}{k!}\, e^{-\lambda p}\]

（推导衔接步由AI补全）

【FA：结论——被阅读短信数仍服从泊松分布】

答案 \(\dfrac{(\lambda p)^k}{k!}e^{-\lambda p}\) 恰是参数为 \(\lambda p\) 的泊松分布：若收到条数 \(X \sim P(\lambda)\)，每条独立以概率 \(p\) 被阅读，则被阅读条数 \(\sim P(\lambda p)\)。这叫泊松分布的稀疏化（thinning）：把每条短信以概率 \(p\) "筛"一遍，筛剩下的仍是泊松分布，只是参数乘 \(p\)。

1.5 独立性¶

定义：若 \(P(AB) = P(A)P(B)\)，则称 \(A\) 与 \(B\) 独立。当 \(P(A)P(B) \ne 0\) 时，独立等价于

\[P(B \mid A) = P(B) \quad \text{或} \quad P(A \mid B) = P(A)\]

即一事件发生与否不改变另一事件发生的概率。

补事件替换：\(A\)、\(B\) 独立，则随意替换 \(\overline{A}\)、\(\overline{B}\) 也独立，即 \(A\) 与 \(\overline{B}\)、\(\overline{A}\) 与 \(B\)、\(\overline{A}\) 与 \(\overline{B}\) 均独立。

【FA：补事件替换为何保持独立（证明）】

以 \(A\) 与 \(\overline{B}\) 为例：\(P(A\overline{B}) = P(A) - P(AB) = P(A) - P(A)P(B) = P(A)\left[1 - P(B)\right] = P(A)P(\overline{B})\)。其余情形同理，对 \(\overline{A}\)、\(\overline{B}\) 反复套用即可。

2026.9.30¶

二、随机变量及其概率分布（离散型）¶

1. 两点分布

\[P(X = k) = p^k (1-p)^{1-k}, \qquad k = 0, 1\]

记作 \(X \sim B(1, p)\)（即 0-1 分布）。

2. 二项分布

\[P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \qquad k = 0, 1, 2, \ldots, n\]

记作 \(X \sim B(n, p)\)。

3. 泊松分布

\[P(X = k) = \frac{\mathrm{e}^{-\lambda} \lambda^k}{k!}, \qquad k = 0, 1, 2, \ldots\]

记作 \(X \sim P(\lambda)\) 或 \(X \sim \pi(\lambda)\)。当 \(n\) 足够大、\(p\) 足够小时，二项分布可近似为泊松分布，\(\lambda = np\)。

【FA：泊松定理（二项分布的泊松近似）】

设 \(\lambda = np\) 固定（\(n\) 增大时 \(p\) 相应减小），则对每个固定的 \(k\)：

\[\lim_{n \to \infty} \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = \frac{\mathrm{e}^{-\lambda}\lambda^k}{k!}\]

即 \(n\) 大、\(p\) 小时 \(B(n, p) \approx P(np)\)。经验上 \(n \ge 20\)、\(p \le 0.05\) 时近似已相当好。直观：大量独立个体各自发生"稀有事件"，稀有事件的总次数天然趋于泊松分布。（FA 补充）

连续型随机变量¶

1. 随机变量的概率分布函数

\[F(x) = P\{X \le x\}\]

且 \(F(x + 0) = F(x)\)，即 \(F\) 处处右连续。

【FA：右连续与"左开右闭"辨析】

\(F(x + 0) = F(x)\) 说的是 \(F\) 右连续；有了它才能用分布函数算任意区间的概率

\[P\{a < X \le b\} = F(b) - F(a)\]

这里的区间 \((a, b]\) 是左开右闭的——笔记里写的"左闭右开"应是口误（"左闭右开"的 \([a, b)\) 对应的是 \(F(x) = P\{X < x\}\) 那种左连续定义，与本页 \(F(x) = P\{X \le x\}\) 的定义不配套，别混用）。分布函数另外两条基本性质：单调不减；\(F(-\infty) = 0\)、\(F(+\infty) = 1\)。（FA 补充）

2. 连续型随机变量（10.14 补记：这节课在打生日贺信的草稿，听了整个乐呵……）

\[F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,\mathrm{d}t\]

称 \(X\) 为连续型随机变量，\(f(x)\) 为密度函数。分段点处 \(F\) 必须连续（\(F(2^-) = F(2)\)）。

① 均匀分布

\[f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{b-a}, & x \in (a, b) \\[2pt] 0, & \text{其他} \end{cases} \qquad X \sim U(a, b)\]

\[F(x) = \begin{cases} 0, & x < a \\[2pt] \dfrac{x-a}{b-a}, & a \le x < b \\[2pt] 1, & x \ge b \end{cases}\]

② 正态分布

\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\,\mathrm{e}^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, \qquad \mu \in \mathbb{R},\ \sigma > 0, \qquad X \sim N(\mu, \sigma^2)\]

\[F(x) = \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\,\mathrm{e}^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}\,\mathrm{d}t, \qquad \sigma \text{ 越大越扁}\]

标准正态分布：\(\mu = 0\)、\(\sigma = 1\)：\(\varphi(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}\)，\(\Phi(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{x} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\mathrm{e}^{-\frac{t^2}{2}}\,\mathrm{d}t\)。

一般化标准：令 \(t = \dfrac{x - \mu}{\sigma}\)。

③ 指数分布

\[f(x) = \begin{cases} \lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}, & x > 0 \\ 0, & x \le 0 \end{cases} \qquad X \sim E(\lambda)\]

\[F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,\mathrm{d}t = \begin{cases} 1 - \mathrm{e}^{-\lambda x}, & x > 0 \\ 0, & x \le 0 \end{cases}\]

\[P\{X > t_0 + t\} = P\{X > t_0\}\cdot P\{X > t\}\]

（两边同除 \(P\{X > t_0\}\) 即得无记忆性的条件概率形式 \(P\{X > t_0 + t \mid X > t_0\} = P\{X > t\}\)。）

2026.10.10（2.5 随机变量函数的分布；10.14 自学补）¶

笔记原话：显然这节课在写生日贺信，一点没听。

定义：\(X\) 为连续型随机变量，密度函数 \(f_X(\cdot)\)，随机变量 \(Y = g(X)\)。若 \(y = g(x)\) 严格单调且处处可导，\(y = g(x)\) 反函数 \(x = h(y)\)，则 \(Y\) 的密度函数：

\[f_Y(y) = \begin{cases} f_X(h(y))\left|h'(y)\right|, & y \in D \\ 0, & y \notin D \end{cases}\]

（FA，不懂）

这个方法应该不如后面写的等价法万能。

【FA：公式法从哪来、等价法为什么更万能】

公式法的来源：设 \(g\) 单调增，则 \(F_Y(y) = P\{g(X) \le y\} = P\{X \le h(y)\} = F_X(h(y))\)，两边求导得 \(f_Y(y) = f_X(h(y))\,h'(y)\)；\(g\) 单调减时不等号翻转，多一层 \(|\cdot|\)。\(|h'(y)|\) 就是"拉伸倍数"——概率元 \(\mathrm{d}x\) 映到 \(\mathrm{d}y\) 要除以伸缩率。等价法就是不用背这套：先算 \(F_Y(y) = P\{g(X) \le y\}\)（把 \(X\) 的事件翻译成 \(Y\) 的事件），再求导。它不要求单调、不要求记公式，分段也能处理，所以更"万能"。（FA 补充）

2026.10.14（第八/九周小测 · 等价法；二维随机变量开篇）¶

第三次签到（签满八次即可）。

小测：等价法（万能）¶

e.g. \(X \sim U(-1, 2)\)，求 \(Y = |X|\) 的概率密度 \(f_Y(y)\)。

图：\(y = |x|\) 在 \((-1, 2)\) 上的 V 形折线（\(x = -1\) 处 \(y = 1\)，\(x = 2\) 处 \(y = 2\)）。

\(-1 < x < 2 \Rightarrow 0 < Y < 2\)（有效范围）。左侧（\(Y < 0\)）为 0，右侧（\(Y > 2\)）为 1。

若介于有效区间之间 \(0 < Y < 2\)：\((-1, 1)\) 左右对称，\((1, 2)\) 不对称，则分段：

1° \(0 < Y < 1\)：\(P(-y \le x \le y) = \displaystyle\int_{-y}^{y} \frac{1}{3}\,\mathrm{d}x = \frac{2}{3}y\)（FA，不懂）

2° \(1 \le Y < 2\)：\(P(-y \le x \le y) = \displaystyle\int_{-y}^{y} f(x)\,\mathrm{d}x\)，\(-y\) 在 \(-1\) 左侧（下限截到 \(-1\)）：

\[= \int_{-1}^{y} \frac{1}{3}\,\mathrm{d}x = \frac{y+1}{3}\]

（FA，\(\frac{1}{3}\) 是怎么来的）

则

\[F_Y(y) = \begin{cases} 0, & y < 0 \\[2pt] \frac{2}{3}y, & 0 \le y < 1 \\[2pt] \frac{y+1}{3}, & 1 \le y < 2 \\[2pt] 1, & y \ge 2 \end{cases} \qquad \xrightarrow{\ \text{求导}\ } \qquad f_Y(y) = \begin{cases} \frac{2}{3}, & 0 < y < 1 \\[2pt] \frac{1}{3}, & 1 \le y < 2 \\[2pt] 0, & \text{其他} \end{cases}\]

（FA，补全条件）

若不好分段，先不积：

e.g. \(X \sim N(0, 1)\)，求 \(Z = X^2\) 的概率密度 \(f_Z(z)\)。

\(X\) 的有效范围：\(-\infty \to +\infty\)；\(Z\)：\(0 \to +\infty\)。

由 \(F_Z(z) = P(Z \le z) = P\{X^2 \le z\}\)：

\[F_Z(z) = \begin{cases} 0, & z \le 0 \\[2pt] \displaystyle\int_{-\sqrt{z}}^{\sqrt{z}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}\,\mathrm{d}x, & z > 0 \end{cases}\]

不积分，求导：\(f_Z(z) = F_Z'(z) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi z}}\,\mathrm{e}^{-\frac{z}{2}}\)（FA，如何积分）

稍复杂一些：

e.g. \(f(x) = \begin{cases} \dfrac{2x}{\pi^2}, & 0 < x < \pi \\[2pt] 0, & \text{else} \end{cases}\)，求 \(Y = \sin X\) 的概率密度。

\[F_Y(y) = P(Y \le y) = P\{\sin X \le y\}, \qquad X: (0, \pi) \Rightarrow Y: (0, 1]\]

左侧为 0，右侧为 1。当 \(Y \in (0, 1)\)（笔记原文写"或"，实为两段概率相加）：

\[F_Y(y) = P(0 < x \le \arcsin y) + P(\pi - \arcsin y \le x < \pi)\]

图：正弦曲线 \(y = \sin x\) 的拱形与水平线 \(y\) 交于 \(x = \arcsin y\) 和 \(x = \pi - \arcsin y\)。（FA，补全，看不懂老师的神秘板书字体）（咱不会写字的话可以做 PPT 的）

【FA：三处 FA 的补全】

\(\dfrac{1}{3}\) 从哪来：\(X \sim U(-1, 2)\) 的密度在长度为 3 的区间 \((-1, 2)\) 上恒为 \(\dfrac{1}{3}\)，落在其中任何一段 \([a, b]\) 的概率都是 \(\dfrac{b-a}{3}\)。1° 里 \(y < 1\) 时区间 \([-y, y]\) 整体在 \((-1, 2)\) 内，长 \(2y\)，得 \(\dfrac{2y}{3}\)；2° 里被截后实际区间 \([-1, y]\)，长 \(y + 1\)，得 \(\dfrac{y+1}{3}\)。
补全条件：密度函数的分段端点（\(y = 0, 1, 2\)）处取值不影响积分，可任取；要求的是 \(F_Y\) 在端点处连续衔接、\(f_Y\) 分段不重不漏。
如何"积分"：\(\int_{-\sqrt z}^{\sqrt z} \mathrm{e}^{-x^2/2}\mathrm{d}x\) 积不出初等函数，不用积——变限求导即可：\(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\displaystyle\int_{-\sqrt z}^{\sqrt z} g(x)\,\mathrm{d}x = g(\sqrt z)\cdot\dfrac{1}{2\sqrt z} + g(-\sqrt z)\cdot\dfrac{1}{2\sqrt z}\)，\(g\) 为偶函数，合并 \(= \dfrac{g(\sqrt z)}{\sqrt z} = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi z}}\mathrm{e}^{-z/2}\)（这正是 \(\chi^2(1)\) 分布的密度）。
\(\sin X\) 例的补全：\(F_Y(y) = \displaystyle\int_0^{\arcsin y} \frac{2x}{\pi^2}\mathrm{d}x + \int_{\pi - \arcsin y}^{\pi} \frac{2x}{\pi^2}\,\mathrm{d}x = \frac{(\arcsin y)^2}{\pi^2} + \frac{\pi^2 - (\pi - \arcsin y)^2}{\pi^2} = \frac{2}{\pi}\arcsin\,y\)，求导得

\[f_Y(y) = \frac{2}{\pi\sqrt{1 - y^2}} \quad (0 < y < 1), \qquad f_Y(y) = 0 \ \ (\text{其他})\]

（两段积分里 arcsin 的二次项恰好消掉。）（解答由AI补全）

三、二维随机变量（开篇；本页未标日期，按扫描顺序接于 10.14）¶

3.1 二维离散

\[P\{X = x_i,\ Y = y_j\} = p_{ij} \qquad \text{（联合分布）}\]

边际分布：\(P\{X = x_i\} = p_{i\cdot}\)，\(P\{Y = y_j\} = p_{\cdot j}\)。

条件分布：

\[P\{X = x_i \mid Y = y_j\} = \frac{P\{X = x_i,\ Y = y_j\}}{P\{Y = y_j\}} = \frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}\]

联合 \(\Rightarrow\) 边际唯一，边际 \(\nRightarrow\) 联合。

2026.10.21（3.2 二维随机变量的分布函数 · 3.3 二维连续型随机变量 · 3.4 独立性）¶

第四次签到。

小测：期望 + 方差 + ……（一道大题、四个小问，25 min 左右）（九周一次，十四/五周一次）。

3.2 二维随机变量的分布函数¶

分布函数 \(F(x, y) = P\{X \le x,\ Y \le y\}\)：单调不减、右连续。

若 \(x_2 > x_1\)，\(y_2 > y_1\)，则

\[F(x_2, y_2) + F(x_1, y_1) - \left[F(x_2, y_1) + F(x_1, y_2)\right] \ge 0\]

（矩形区域概率非负。）

边际分布函数：

\[F_X(x) = P\{X \le x\} = F(x, +\infty)\]

条件分布函数：

\[F_{Y|X}(y \mid x_i) = P\{Y \le y \mid X = x_i\}\]

\[F_{Y|X}(y \mid x) = \lim_{\delta \to 0^+} P\{Y \le y \mid \underbrace{x < X \le x + \delta}_{\text{连续}}\ \text{或}\ \underbrace{x - \delta < X \le x + \delta}_{\text{任意}}\} = P\{Y \le y \mid X = x\}\]

3.3 二维连续型随机变量¶

\[F(x, y) = \int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y} f(u, v)\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v \qquad \text{对}\ \forall x, y\ \text{成立}\]

则称 \(f(x, y)\) 为联合密度函数。

连续点处 \(\dfrac{\partial^2 F(x, y)}{\partial x\, \partial y} = f(x, y)\)；\(D\) 内 \(P\{(X, Y) \in D\} = \displaystyle\iint_D f(x, y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\)。

二重积分方法：\(\displaystyle\int_0^1 \mathrm{d}y \int_{-y}^{y} f(x, y)\,\mathrm{d}x\)。\(\mathrm{d}y\) 写前面：先积 \(\mathrm{d}x\)，\(y\) 固定，\(x\) 范围用 \(y\) 表示（后面的范围用前面的表示）。写分数配平【?】。

边际分布：

\[F_X(x) = P\{X \le x\} = P\{X \le x,\ Y \in (-\infty, +\infty)\}\]

\[F_X(x) = \int_{-\infty}^{x}\left[\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y)\,\mathrm{d}y\right]\mathrm{d}x = \int_{-\infty}^{x}\mathrm{d}x\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y)\,\mathrm{d}y\]

\[f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y)\,\mathrm{d}y, \qquad f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y)\,\mathrm{d}x\]

（\(-\infty \sim +\infty\) 要根据实际条件改成实际范围。）

\[P\{Y \le 2\} = \int_{-\infty}^{2} f_Y(y)\,\mathrm{d}y = \iint_D f(x, y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\]

条件分布：

\[f_{Y|X}(y \mid x) = \frac{f(x, y)}{f_X(x)}, \qquad -\infty < y < +\infty\]

二元均匀分布：

\[f(x, y) = \begin{cases} \dfrac{1}{D\ \text{的面积}}, & (x, y) \in D \\[6pt] 0, & \text{其他} \end{cases}\]

二元正态：\((X, Y) \sim N(\mu_1, \mu_2;\ \sigma_1^2, \sigma_2^2;\ \rho)\)

\[f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma_1}\,\mathrm{e}^{-\frac{(x - \mu_1)^2}{2\sigma_1^2}} \qquad \text{（FA，补全）}\]

【FA：二元正态的边际密度】

指数上补全的是 \(-\dfrac{(x - \mu_1)^2}{2\sigma_1^2}\)：二元正态的每个边际都是一维正态，\(X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)\)、\(Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)\)，\(f_Y(y) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_2}\exp\left(-\dfrac{(y - \mu_2)^2}{2\sigma_2^2}\right)\)。注意边际密度里不含 \(\rho\)——所以从"两个边际都是正态"推不出"联合是二元正态"，联合分布的信息量大于边际。（FA 补充）

3.4 独立性¶

独立：

\[F(x, y) = F_X(x)\cdot F_Y(y)\]