大学物理（甲）Ⅱ¶

任课教师：鲁定辉
学期：2026-2027 秋冬学期

分数构成¶

期中 20% + 期末 40% + 平时 40%（加权赋分）；平时内部：作业 13% + 出勤 5% + 交流 2% + 小测（2~3 次）20%。
笔记原话：期中期末考得好，平时分就高；期中考到电磁感应（期中范围截至电磁感应）。
笔记原文"＋竞赛？"——疑指竞赛加分，待确认。

课堂笔记¶

2026.9.15（第 9 章静电场开篇）¶

9.1 电荷¶

元电荷与质子、中子的夸克组成

元电荷 $e = 1.6\times10^{-19}\ \mathrm{C}$（精确值 $1.602\times10^{-19}\ \mathrm{C}$）。

质子（uud）和中子（udd）由夸克组成：u 夸克带电 $+\dfrac{2}{3}e$，d 夸克带电 $-\dfrac{1}{3}e$。

验证（AI 补充）：质子 $\dfrac{2}{3}e + \dfrac{2}{3}e - \dfrac{1}{3}e = +e$；中子 $\dfrac{2}{3}e - \dfrac{1}{3}e - \dfrac{1}{3}e = 0$。即质子、中子的电荷正是其夸克电荷的叠加；自由夸克不存在（夸克禁闭），夸克只在强子内部出现。

9.2 库仑定律¶

库仑定律

\[\vec{F}_{21} = k\,\frac{q_1 q_2}{r^2}\,\vec{e}_{r21}\]

$\vec{F}_{21}$ 表示电荷 1 作用于电荷 2 的力，$\vec{e}_{r21}$ 为从 $q_1$ 指向 $q_2$ 方向的单位矢量，$r$ 为两点电荷间距；同号相斥、异号相吸（力的实际方向由电荷符号决定）。
适用条件：点电荷、真空、静止。
SI 单位制中 $k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 9\times10^{9}\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}$（数值由 AI 补充）。

真空电磁常量与两种单位制

SI 制：$k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}$；$\varepsilon_0$ 为真空介电常量（$\approx 8.85\times10^{-12}\ \mathrm{C^2/(N\cdot m^2)}$）；$\mu_0$ 为真空磁导率（$\approx 4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{T\cdot m/A}$）。三者满足

\[c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} \approx 3\times10^{8}\ \mathrm{m/s}\]

（AI 补充：这个关系把电学、磁学与光学联系在一起——光就是电磁波。）

高斯制（CGS）：$k = 1$，电荷单位不是库仑，而是静库 statC（AI 补充换算：$1\ \mathrm{C} \approx 3\times10^{9}\ \mathrm{statC}$）。

9.3 电场和电场强度¶

电场的物质性

场以光速传递，需要时间——电荷间的相互作用不是"超距作用"，而是通过电场以有限速度（光速）传递的（AI 补充：这是"场是物质存在的一种形式"这一核心观念，与力学中假想的即时超距力有本质区别）。
运动电荷的电场和静止电荷的电场完全不同（AI 补充：运动电荷的电场与速度相关，高速时场沿运动方向"压扁"——这正是狭义相对论的电磁学起源；静电学只研究静止电荷的场）。

电场强度的定义

\[\vec{E} = \lim_{q_0\to 0}\frac{\vec{F}}{q_0}\]

试验电荷 $q_0$ 必须足够小：几何线度小到可视为点，电量小到放入后不改变原来的电场分布。
单位：N/C 或 V/m（两者等价，$1\ \mathrm{N/C} = 1\ \mathrm{V/m}$）；$\vec{E}$ 的方向与正试验电荷受力方向相同。

电场强度的数量级

晴天大地表面约 100 V/m；空气击穿场强约 $3\times10^{6}\ \mathrm{V/m}$。
大地表面带负电荷（AI 补充：因此晴天大气电场方向竖直指向地面、随高度减弱；只有当场强接近击穿量级（雷电云附近）才会击穿空气产生放电闪电）。

点电荷的场强

\[\vec{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{r^2}\,\vec{e}_r\]

$\vec{e}_r$ 为从场源电荷指向场点方向的单位矢量，$r$ 为源到场点的距离。（AI 补充：$r \to 0$ 时公式发散，点电荷所在处的场强无定义。）

连续分布电荷的场强：先投影后积分

\[\vec{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{dq}{r^2}\,\vec{e}_r\]

三种电荷密度：线密度 $\lambda = \dfrac{dq}{dl}$，面密度 $\sigma = \dfrac{dq}{dS}$，体密度 $\rho = \dfrac{dq}{dV}$。
四步法：①选取电荷元与坐标系；②把 $\mathrm{d}\vec{E}$ 投影到各坐标轴；③计算各个标量积分；④合成。
技巧（笔记原话）：以 $\theta$ 为积分变量，一般比较简单（用角度参数化电荷元，配合几何关系换元，积分多为三角函数的简单积分）。
合成：$\vec{E} = E_x\vec{e}_x + E_y\vec{e}_y$（分量叠加后再求模与方向）。

例：典型连续分布电荷的场强——直线、圆环、圆盘、电偶极子

笔记列出的课堂典型例题，标准结果如下（记 $k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}$，设电荷为正）：

均匀带电直线（线密度 $\lambda$，场点到直线的垂距为 $a$，场点与直线两端的连线同垂线的夹角分别为 $\theta_1$、$\theta_2$）：平行分量 $E_{\parallel} = \dfrac{k\lambda}{a}(\cos\theta_2 - \cos\theta_1)$，垂直分量 $E_{\perp} = \dfrac{k\lambda}{a}(\sin\theta_1 + \sin\theta_2)$。重要极限：
无限长直线：$E = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 a}$（与距离成反比）；
半无限长直线（一端与垂足平齐）：$E = \sqrt{2}\,\dfrac{k\lambda}{a}$，方向与直线成 45°。
均匀带电圆环轴线（半径 $R$、电量 $Q$、轴距环心 $x$）：$E = \dfrac{kQx}{(x^2+R^2)^{3/2}}$，沿轴线方向；环心处 $E=0$，在 $x = \pm\dfrac{R}{\sqrt{2}}$ 处取最大值。
均匀带电圆盘轴线（半径 $R$、面密度 $\sigma$）：$E = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1 - \dfrac{x}{\sqrt{x^2+R^2}}\right)$，沿轴线方向；$x\to\infty$ 退化为点电荷场，$R\to\infty$ 得无限大均匀带电平面 $E = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$（匀强场、与距离无关）。
电偶极子（$\pm q$ 相距 $l$，电矩 $\vec{p} = q\vec{l}$ 方向由 $-q$ 指向 $+q$；远场 $r\gg l$）：轴线延长线上 $E = \dfrac{2kp}{r^3}$，沿 $\vec{p}$ 方向；中垂线上 $E = \dfrac{kp}{r^3}$，方向与 $\vec{p}$ 相反。
电偶极子在均匀电场中（$\vec{p}$ 与 $\vec{E}$ 不平行）：合力为零，但受力矩 $\vec{M} = \vec{p}\times\vec{E}$（大小 $pE\sin\theta$），力矩使电矩转向电场方向；势能 $W = -\vec{p}\cdot\vec{E}$。（AI 补充：在非均匀电场中偶极子还受合力 $\vec{F} \approx \nabla(\vec{p}\cdot\vec{E})$，被拉向场强更强处。）

（以上例题解答由 AI 补全，请复核。）

【FA：上面五个经典结果的完整推导】

带电直线段：场点 $P$ 到直线的垂距为 $a$，以垂足为原点、直线为 $x$ 轴。电荷元在 $x$ 处：$\mathrm{d}q = \lambda\,\mathrm{d}x$，到 $P$ 的距离 $r = \sqrt{x^2+a^2}$，$\mathrm{d}\vec{E}$ 方向由 $\mathrm{d}q$ 指向 $P$，即沿 $(-x,\ a)$ 方向。设两端坐标为 $x_1, x_2$，则

\[E_{\parallel} = k\lambda\left[\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\right]_{x_1}^{x_2}, \qquad E_{\perp} = \frac{k\lambda}{a}\left[\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}\right]_{x_1}^{x_2}\]

（积分用了 $\displaystyle\int\frac{x\,\mathrm{d}x}{(x^2+a^2)^{3/2}} = -\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}$，$\displaystyle\int\frac{\mathrm{d}x}{(x^2+a^2)^{3/2}} = \frac{x}{a^2\sqrt{x^2+a^2}}$。）引入垂线到两端连线的夹角 $\theta_1, \theta_2$（即 $\dfrac{x}{\sqrt{x^2+a^2}} = \sin\theta$，$\dfrac{a}{\sqrt{x^2+a^2}} = \cos\theta$），就得到上面的紧凑形式。两个重要极限：

无限长直线（$x_1\to-\infty$，$x_2\to+\infty$）：$E_{\parallel} = 0$，$E_{\perp} = \dfrac{2k\lambda}{a} = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 a}$；
半无限长（一端与垂足平齐，$x_1 = 0$，$x_2\to+\infty$）：$E_{\parallel} = -\dfrac{k\lambda}{a}$，$E_{\perp} = \dfrac{k\lambda}{a}$，合场 $E = \sqrt{2}\,\dfrac{k\lambda}{a}$，与直线成 45°。

圆环轴线：半径 $R$、电量 $Q$，场点在轴上距环心 $x$ 处。对称性：各电荷元的横向分量成对抵消，只剩轴向分量。每个 $\mathrm{d}q$ 到场点距离都是 $r = \sqrt{x^2+R^2}$，其场与轴向的夹角余弦为 $\dfrac{x}{r}$，故

\[E = \int \frac{k\,\mathrm{d}q}{r^2}\cdot\frac{x}{r} = \frac{kQx}{(x^2+R^2)^{3/2}}\]

环心 $x = 0$ 处 $E = 0$；$x \gg R$ 时退化为点电荷 $kQ/x^2$。

圆盘轴线：半径 $R$、面密度 $\sigma$，切成细圆环：半径 $r'$、宽 $\mathrm{d}r'$ 的环带电量 $\mathrm{d}Q = \sigma\cdot 2\pi r'\,\mathrm{d}r'$，代入圆环结果并积分：

\[E = 2\pi k\sigma x\int_0^R \frac{r'\,\mathrm{d}r'}{(x^2+r'^2)^{3/2}} = 2\pi k\sigma x\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{\sqrt{x^2+R^2}}\right) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1 - \frac{x}{\sqrt{x^2+R^2}}\right)\]

$R\to\infty$ 得无限大平面 $E = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$（匀强）；$x\to\infty$ 退化为点电荷。

电偶极子（$\pm q$ 相距 $l$，$\vec{p} = q\vec{l}$，远场 $r\gg l$）：

轴线延长线上：两点电荷到场点距离为 $r \mp l/2$，

\[E = kq\left[\frac{1}{(r-l/2)^2} - \frac{1}{(r+l/2)^2}\right] = \frac{2kqrl}{(r^2-l^2/4)^2} \approx \frac{2kp}{r^3}\]

沿 $\vec{p}$ 方向。 - 中垂线上：两电荷的场大小均为 $\dfrac{kq}{r^2+l^2/4}$，垂直于轴的分量抵消、沿轴分量相加：

\[E = 2\cdot\frac{kq}{r^2+l^2/4}\cdot\frac{l/2}{\sqrt{r^2+l^2/4}} = \frac{kql}{(r^2+l^2/4)^{3/2}} \approx \frac{kp}{r^3}\]

方向与 $\vec{p}$ 相反。

偶极子在均匀电场中：两电荷受力 $+q\vec{E}$、$-q\vec{E}$，合力为零；对中心的力矩为 $2\cdot qE\cdot\dfrac{l}{2}\sin\theta = pE\sin\theta$，矢量式 $\vec{M} = \vec{p}\times\vec{E}$，力矩把 $\vec{p}$ 转向 $\vec{E}$。由 $M = -\dfrac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}\theta}$ 积分得势能 $W = -pE\cos\theta = -\vec{p}\cdot\vec{E}$（取 $\theta = \pi/2$ 为零点）。

后续方法预告：先求电势，再求梯度

笔记原话：后续先求电势，电势求梯度得场强。即先用标量积分 $V = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\displaystyle\int \dfrac{dq}{r}$（标量积分比矢量积分简单），再由 $\vec{E} = -\nabla V$ 求场强。（AI 补充：这是静电场第二条计算路线，下一节展开。）

2026.9.17（9.5 高斯定理）¶

库仑定律复习¶

例：半径 $R$ 的圆环，上半圆均匀带 $+Q$、下半圆均匀带 $-Q$，求圆心处的场强（FA）

图：半径 $R$ 的圆环，上半圆带 $+Q$、下半圆带 $-Q$，在环上取角元 $\mathrm{d}\theta$。

笔记提示：

线密度 $\lambda = \dfrac{Q}{\pi R}$，最后要代回（不要把 $\lambda$ 留在答案里）；
叠加时注意方向——建坐标系，把 $\mathrm{d}\vec{E}$ 按单位矢量（如 $\vec{e}_x$）投影后再相加。

【FA：半圆环圆心场强（完整步骤）】

建系：圆心为原点 $O$，$x$ 轴沿上、下半圆的分界直径（水平），$y$ 轴竖直向上（指向 $+Q$ 一侧）。上、下半圆电荷线密度大小均为

\[\lambda = \frac{Q}{\pi R}\]

第一步（取电荷元）：在上半圆取极角 $\theta$（自 $x$ 轴量起，$0 \le \theta \le \pi$）处的角元 $\mathrm{d}\theta$，弧长 $\mathrm{d}l = R\,\mathrm{d}\theta$，电荷元

\[\mathrm{d}q = \lambda R\,\mathrm{d}\theta\]

第二步（写电荷元的场）：电荷元到圆心的距离恒为 $R$，故

\[\mathrm{d}E = \frac{k\,\mathrm{d}q}{R^2} = \frac{k\lambda}{R}\,\mathrm{d}\theta\]

正电荷的场由电荷元指向场点，即由 $\mathrm{d}q$ 指向 $O$，与 $\mathrm{d}q$ 的位置矢量 $(R\cos\theta,\ R\sin\theta)$ 反向：

\[\mathrm{d}\vec{E} = -\frac{k\lambda}{R}(\cos\theta\,\vec{e}_x + \sin\theta\,\vec{e}_y)\,\mathrm{d}\theta\]

第三步（投影、积分——上半圆）：

\[E_x^{上} = -\frac{k\lambda}{R}\int_0^{\pi}\cos\theta\,\mathrm{d}\theta = 0, \qquad E_y^{上} = -\frac{k\lambda}{R}\int_0^{\pi}\sin\theta\,\mathrm{d}\theta = -\frac{2k\lambda}{R}\]

第四步（下半圆）：下半圆电荷为 $-Q$，线密度大小仍为 $\lambda$。负电荷的场由场点指向电荷元，即由 $O$ 指向 $\mathrm{d}q$。对 $\varphi \in [\pi, 2\pi]$ 投影积分：

\[E_x^{下} = \frac{k\lambda}{R}\int_{\pi}^{2\pi}\cos\varphi\,\mathrm{d}\varphi = 0, \qquad E_y^{下} = \frac{k\lambda}{R}\int_{\pi}^{2\pi}\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi = -\frac{2k\lambda}{R}\]

（也可用镜像对称看：上、下半圆逐对镜像的电荷元符号相反，$x$ 分量成对抵消、$y$ 分量成对加强。）

第五步（叠加并代回 $\lambda$）：

\[E_y = -\frac{4k\lambda}{R} = -\frac{4kQ}{\pi R^2}, \qquad E = \frac{4kQ}{\pi R^2} = \frac{Q}{\pi^2\varepsilon_0 R^2}\]

方向沿 $-y$：由 $+Q$ 半圆指向 $-Q$ 半圆（沿对称轴向"下"）。（解答由AI补全）

例：半径 $R$ 的带电球面，面密度 $\sigma = \sigma_0\cos\theta$，求球心处的电场（FA）

思路（笔记原话）：分解为细圆环场强的叠加。结果：$E_z = -\dfrac{\sigma_0}{3\varepsilon_0}$。

【FA：余弦分布球面球心场强（完整步骤）】

建系：球心为原点，$z$ 轴为极轴（$\theta = 0$ 的极点在 $+z$ 方向）。$\theta$ 处 $\sigma = \sigma_0\cos\theta$：北半球带正电、南半球带负电。

第一步（切细圆环）：取极角 $\theta \sim \theta + \mathrm{d}\theta$ 的环带。环半径 $a = R\sin\theta$，带宽 $R\,\mathrm{d}\theta$，面积与电荷元为

\[\mathrm{d}S = 2\pi R^2\sin\theta\,\mathrm{d}\theta, \qquad \mathrm{d}q = \sigma_0\cos\theta \cdot 2\pi R^2\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\]

（$\mathrm{d}q$ 是带符号的：$\theta > \pi/2$ 时为负。）

第二步（用细圆环轴线场强公式）：9.15 已推得半径 $a$、电量 $q$ 的细圆环，在轴上距环心 $x$ 处的场 $E_x = \dfrac{kqx}{(x^2+a^2)^{3/2}}$（$x$ 为带符号的轴向坐标，公式自动给出正确方向）。

此处环心位于 $z = R\cos\theta$，场点（球心）相对环心的轴向坐标为 $x = -R\cos\theta$，且 $x^2 + a^2 = R^2$，所以

\[\mathrm{d}E_z = \frac{k\,\mathrm{d}q\cdot(-R\cos\theta)}{R^3} = -\frac{k\cos\theta}{R^2}\,\mathrm{d}q = -2\pi k\sigma_0\cos^2\theta\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\]

第三步（积分）：换元 $u = \cos\theta$，$\int_0^{\pi}\cos^2\theta\sin\theta\,\mathrm{d}\theta = \dfrac{2}{3}$，故

\[E_z = -2\pi k\sigma_0\cdot\frac{2}{3} = -\frac{4\pi k\sigma_0}{3} = -\frac{4\pi\sigma_0}{3\cdot 4\pi\varepsilon_0} = -\frac{\sigma_0}{3\varepsilon_0}\]

与笔记结果一致。物理图像：每个环带无论带电正负，在球心产生的场都指向 $-z$（正电荷环的场背离环、负电荷环的场指向环），故总场沿 $-z$——由 $\sigma$ 为正的极指向 $\sigma$ 为负的极。（步骤为 AI 细化，请复核。）

缺口问题

笔记原话：总 $-$ 缺；缺口很小的话可以近似为点电荷。

即 $\vec{E}_{实际} = \vec{E}_{完整} - \vec{E}_{缺口}$：完整体的场往往由对称性直接得出（如完整圆环中心的场为零），缺口线度很小时其电荷元近似为点电荷。（AI 补充示例：均匀带电圆环（$Q, R$）挖去一小段 $\Delta l$，圆心场强近似等于缺口电荷元 $q' = \dfrac{Q\Delta l}{2\pi R}$ 视作点电荷在圆心的场，$E = \dfrac{kq'}{R^2}$；因 $\vec{E}_{完整} = 0$，故 $\vec{E}_{实际} = -\vec{E}_{缺口}$，方向由圆心指向缺口。）（示例由AI补全）

为什么需要高斯定理¶

笔记原话：电荷分布不确定，（也要能求场；高斯定理）既适用静电场，也适用时变电场。（AI 补充：用库仑定律 + 叠加原则上总能算场，但要求电荷分布已知且积分可行；高斯定理是麦克斯韦方程组之一，对任意电荷分布、含时电磁场普遍成立，而且配合对称性可把积分化为乘法，是求场的新路线。）

电通量¶

匀强场中、面与 $\vec{E}$ 垂直时：$\Phi_E = ES$。单位 $\mathrm{V\cdot m}$；标量。曲面法线正方向可任意选定，通量可正可负。
面与 $\vec{E}$ 不垂直：$\mathrm{d}\Phi_e = \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}$，$\Phi_e = \displaystyle\int_S \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}$。
闭合曲面：规定向外法线为正方向（穿出为正、穿入为负）。

高斯定理¶

内容：通过任意闭合曲面（高斯面）的电通量，等于面内所包围电荷的代数和除以 $\varepsilon_0$：

\[\Phi_e = \oint_S \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = \frac{1}{\varepsilon_0}\sum_i q_i\]

注①：点电荷 $q$ 位于球面（半径 $r$）中心

\[\Phi_E = \oint_S \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = \oint_S k\frac{q}{r^2}\,\vec{e}_r\cdot\mathrm{d}\vec{S} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{q}{r^2}\cdot 4\pi r^2 = \frac{q}{\varepsilon_0}\]

笔记强调：必须加 $\vec{e}_r$ !!} —— 通量是点乘，正是 $\vec{e}_r\cdot\vec{e}_r = 1$ 才能把积分化成 $E\cdot 4\pi r^2$。

注②：点电荷位于任意闭合曲面外（FA：图 9.10）

笔记：圆锥内穿入面和穿出面（的通量）为 0，抵消了。（FA：没懂）

【FA：图 9.10 课本证明用图】

课本图9.10 高斯定理证明用图：面内电荷与面外电荷的立体角分析，含笔记批注（立体角、穿入、穿出）

课本图 9.10「高斯定理证明用图」（原图见上，据图整理）：

面内电荷 $q$：从 $q$ 出发的窄圆锥（对应立体角 $\mathrm{d}\Omega$）与曲面交于面元 $\mathrm{d}s$，$\mathrm{d}s$ 距 $q$ 为 $r$，该处外法线 $\vec{e}_n$，$\vec{E}$ 与 $\vec{e}_n$ 夹角 $\theta$。
面外电荷 $q'$：从 $q'$ 出发的圆锥（立体角 $\mathrm{d}\Omega'$）与曲面相交两次——先穿入（面元 $\mathrm{d}s_2$，场 $\vec{E}_2$ 与该处外法线 $\vec{e}_n$ 夹钝角 $\theta_2$），后穿出（面元 $\mathrm{d}s_1$，场 $\vec{E}_1$ 与外法线夹锐角 $\theta_1$）。
笔记蓝笔批注：立体角、穿入、穿出，另有一处写作"$\mathrm{d}s \perp \vec{e}_n$"【?】（疑指取面元在与场线/锥轴垂直方向上的投影面积，即 $\mathrm{d}s\cos\theta = r^2\,\mathrm{d}\Omega$，未能完全确认）。

【FA：没懂——面外电荷通量为什么是零（穿入穿出抵消）】

关键是立体角。取以 $q'$ 为顶点、张开立体角 $\mathrm{d}\Omega$ 的一根窄锥管，它在曲面上截出两块面元：穿入的 $\mathrm{d}s_2$（距 $q'$ 为 $r_2$）与穿出的 $\mathrm{d}s_1$（距 $q'$ 为 $r_1$）。

穿出端：$\mathrm{d}\Phi_1 = \vec{E}_1\cdot\mathrm{d}\vec{S}_1 = E_1\,\mathrm{d}s_1\cos\theta_1$。把 $\mathrm{d}s_1$ 投影到与锥轴垂直的平面上，投影面积恰为 $\mathrm{d}s_1\cos\theta_1 = r_1^2\,\mathrm{d}\Omega$（距离平方 × 立体角），而 $E_1 = kq'/r_1^2$，于是

\[\mathrm{d}\Phi_1 = \frac{kq'}{r_1^2}\cdot r_1^2\,\mathrm{d}\Omega = kq'\,\mathrm{d}\Omega\]

穿入端：场线由外向内穿入，$\vec{E}_2$ 与外法线夹钝角，同样算法得 $\mathrm{d}\Phi_2 = -kq'\,\mathrm{d}\Omega$。

成对抵消：$\mathrm{d}\Phi_1 + \mathrm{d}\Phi_2 = 0$，整根锥管净通量为零。全部锥管（立体角共 $4\pi$）铺满曲面，故总通量 $\Phi = 0$。

注意"距离被消掉"：面元离 $q'$ 越远场越弱，但同一锥管截出的面元投影越大（$\propto r^2$），两者恰好抵消——这正是任意形状曲面（不只是球面）结论仍成立的原因。

注③：点电荷位于任意闭合曲面内

笔记：等于点电荷在内球面（同心球面）的通量。（FA：没懂）

【FA：没懂——面内电荷为什么等于"内球面的通量"】

同一套立体角计算：从面内电荷 $q$ 作立体角 $\mathrm{d}\Omega$ 的锥管，与曲面交于 $\mathrm{d}s$（距 $q$ 为 $r$，$\vec{E}$ 与 $\vec{e}_n$ 夹角 $\theta$）：

\[\mathrm{d}\Phi = E\,\mathrm{d}s\cos\theta = \frac{kq}{r^2}\cdot\underbrace{r^2\,\mathrm{d}\Omega}_{\mathrm{d}s\cos\theta} = kq\,\mathrm{d}\Omega\]

每根锥管贡献 $kq\,\mathrm{d}\Omega$，与 $r$、与曲面形状都无关（曲面形状复杂时锥管可能穿入穿出多次，多算的部分成对抵消，最后恰剩一份"净穿出"）。对整个立体角积分：

\[\Phi = kq\oint\mathrm{d}\Omega = kq\cdot 4\pi = \frac{q}{\varepsilon_0}\]

而以 $q$ 为心、半径 $r_0$ 的同心球面（"内球面"）的通量为 $\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r_0^2}\cdot 4\pi r_0^2 = \dfrac{q}{\varepsilon_0}$，完全相同。这就是"任意闭合曲面的通量 = 内球面的通量"：两者在每根锥管上贡献的都是同一份 $kq\,\mathrm{d}\Omega$。

注④：$N$ 个点电荷

笔记：只和闭合曲面内的电荷有关。（FA：没懂）

【FA：没懂——为什么只与面内电荷有关】

叠加原理对积分是线性的：$\vec{E} = \sum_i \vec{E}_i \Rightarrow \Phi = \sum_i \Phi_i$（每个电荷的通量贡献可以分开算）。

面外电荷：由注②，$\Phi_i = 0$；
面内电荷：由注③，$\Phi_i = q_i/\varepsilon_0$。

\[\Phi = \frac{1}{\varepsilon_0}\sum_{\text{面内}} q_i\]

两个容易混淆的点：

高斯面上的 $\vec{E}$ 是所有电荷（含面外）共同产生的总场——面外电荷会改变通量在面上的分布（某处穿多一些、别处穿少一些），但不改变总和。
求和只对面内电荷取代数和：面内净电荷为零时通量为零，但面上 $\vec{E}$ 未必为零（例如面内有一对正负电荷的情形）。

连续分布电荷（积分形式）

\[\oint_S \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = \frac{1}{\varepsilon_0}\int_V \rho\,\mathrm{d}V\]

（FA：微积分形式、散度）

【FA：微分形式与散度】

数学工具（高斯散度定理）：对任意矢量场，闭合面通量 = 散度的体积分：

\[\oint_S \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = \int_V (\nabla\cdot\vec{E})\,\mathrm{d}V\]

对比得微分形式：把它与高斯定理积分形式 $\displaystyle\oint_S \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = \frac{1}{\varepsilon_0}\int_V \rho\,\mathrm{d}V$ 对比。由于这对任意体积 $V$ 都成立，被积函数必须逐点相等：

\[\nabla\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}\]

散度的物理意义：$\nabla\cdot\vec{E}$ 表示该点"单位体积发出的净电通量"（通量的体密度）。$\rho > 0$ 处电场线由此"喷出"（源），$\rho < 0$ 处电场线"汇入"（汇）；无电荷处（$\rho = 0$）散度为零，电场线只穿过、不增不减。

结论：静电场是有源场——哪里有电荷，哪里就是电场线的"喷出口"。（点电荷所在的那一点除外：该处场发散，公式不再适用。）

说明：静电场为有源场。

高斯定理应用：球对称¶

例：均匀带电球面（$Q, R$）的场强分布

对称性分析：电荷分布球对称 $\Rightarrow$ 场沿径向、大小只与 $r$ 有关，同一同心球面上 $E$ 值相等、径向向外。故取同心球面为高斯面，$\displaystyle\oint_S \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = E\cdot 4\pi r^2$（面上 $\vec{E}$ 与 $\mathrm{d}\vec{S}$ 同向、$E$ 处处相等）。

① $r > R$：高斯面内为全部电荷 $Q$：

\[E\cdot 4\pi r^2 = \frac{1}{\varepsilon_0}\int\mathrm{d}q = \frac{Q}{\varepsilon_0} \Rightarrow E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \frac{kQ}{r^2}\]

（等效于电荷全部集中在球心的点电荷。）

② $r < R$：高斯面内无电荷，$E = 0$。

图：$E$–$r$ 曲线——$r<R$ 段贴横轴（$E = 0$），$r = R$ 处跳变到最大值 $kQ/R^2$，$r>R$ 段按 $1/r^2$ 衰减。

例：均匀带电球体（$Q, R$）

① $r > R$：同上，$E = \dfrac{kQ}{r^2}$。

② $r < R$：高斯面只包住半径 $r$ 的球核：

\[\int\mathrm{d}q = \rho\cdot\frac{4}{3}\pi r^3 = Q\cdot\frac{r^3}{R^3} \Rightarrow E\cdot 4\pi r^2 = \frac{Qr^3}{\varepsilon_0 R^3} \Rightarrow E = \frac{Qr}{4\pi\varepsilon_0 R^3} = \frac{kQr}{R^3}\]

（$E \propto r$，随 $r$ 线性增长。）

图：$E$–$r$ 曲线——$r<R$ 段为过原点的直线，$r = R$ 处达最大值 $kQ/R^2$，$r>R$ 段按 $1/r^2$ 下降；两段在 $R$ 处连续（球面内外公式在 $r = R$ 给出同值）。

例：均匀带电厚球壳（内半径 $a$、外半径 $b$）

方法 1°（补偿法）：大球 $-$ 小球——看成密度 $\rho$ 的完整大球（半径 $b$）叠加密度 $-\rho$ 的同心小球（半径 $a$），用球体结果逐区域相减。
方法 2°（高斯定理）：算哪个地方，就把高斯面取到哪里。（FA）

【FA：算哪个地方，就把高斯面取到哪里】

高斯定理本身对任何闭合面都成立，但能解出 $E$ 的前提是把 $\oint \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}$ 化成 $E \times S$。这要求高斯面穿过待求场点，且按对称性选取，使面上（或分片面上）满足：

$E$ 大小处处相等（才能提出积分号）；
$\vec{E}$ 方向处处与面法线平行（$\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = E\,\mathrm{d}S$）或垂直（该片贡献为零）。

"算哪个地方，就把高斯面取到哪里"：待求场点在半径 $r$ 处，就取半径为 $r$ 的高斯面，再数一数面内电荷。三类典型对称性：

球对称（点电荷、球面、球体、厚球壳）→ 同心球面；
柱对称（无限长直线、圆柱、圆筒）→ 同轴圆柱面（上下底面上 $\vec{E}\perp\mathrm{d}\vec{S}$ 不贡献通量）；
面对称（无限大平面、厚平板）→ 横跨平板的柱状盒。

示范（方法 2° 解均匀厚球壳，$\rho$ 为常量）：对 $a < r < b$ 处半径 $r$ 的高斯面，$q_{内} = \rho\cdot\dfrac{4}{3}\pi(r^3 - a^3)$，

\[E\cdot 4\pi r^2 = \frac{\rho(r^3-a^3)}{3\varepsilon_0} \Rightarrow E = \frac{\rho(r^3-a^3)}{3\varepsilon_0 r^2}\]

同理 $r<a$ 时 $E = 0$；$r>b$ 时 $E = \dfrac{\rho(b^3-a^3)}{3\varepsilon_0 r^2}$。（解答由AI补全）

例：厚球壳 $\rho(r) = \dfrac{A}{r}$，球心有点电荷 $Q$，求各区域场强（内半径 $a$、外半径 $b$）（整个题 FA）

取同心球面为高斯面；区域划分：① $r<a$；② $a<r<b$；③ $r>b$。笔记已给出 ② 的结果——要算上内部所有电荷（含球心 $Q$），薄层 $\mathrm{d}q = \rho(r')\cdot 4\pi r'^2\,\mathrm{d}r'$，

\[E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} + \frac{A}{2\varepsilon_0}\left(1 - \frac{a^2}{r^2}\right)\]

【FA：$\rho = A/r$ 厚球壳（完整解答）】

对称性：$\rho(r)$ 只与 $r$ 有关，加上球心点电荷，整体仍球对称 → 场沿径向、同心球面上大小相等 → 取半径 $r$ 的同心球面为高斯面，$\oint\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = E\cdot 4\pi r^2$。

第一步（薄层法算面内电荷）：$\rho$ 随 $r$ 变，不能直接用体积乘密度，要在壳内取半径 $r' \sim r' + \mathrm{d}r'$ 的薄球壳：

\[\mathrm{d}q = \rho(r')\cdot 4\pi r'^2\,\mathrm{d}r' = \frac{A}{r'}\cdot 4\pi r'^2\,\mathrm{d}r' = 4\pi A\,r'\,\mathrm{d}r'\]

区域②（$a < r < b$）：高斯面内电荷 = 球心 $Q$ + 从 $a$ 积到 $r$ 的全部薄层（笔记强调：要算上内部所有电荷，含球心 $Q$）：

\[q_{内}(r) = Q + \int_a^r 4\pi A\,r'\,\mathrm{d}r' = Q + 2\pi A(r^2 - a^2)\]

代入高斯定理：

\[E\cdot 4\pi r^2 = \frac{Q + 2\pi A(r^2-a^2)}{\varepsilon_0} \Rightarrow E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} + \frac{A(r^2-a^2)}{2\varepsilon_0 r^2} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} + \frac{A}{2\varepsilon_0}\left(1 - \frac{a^2}{r^2}\right)\]

与笔记结果一致。

区域①（$r < a$）：高斯面在壳的内腔中，只包住球心点电荷：

\[E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\]

区域③（$r > b$）：薄层积满整个壳，$q_{内} = Q + 2\pi A(b^2 - a^2)$：

\[E = \frac{Q + 2\pi A(b^2-a^2)}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} + \frac{A(b^2-a^2)}{2\varepsilon_0 r^2}\]

（等效于全部电荷集中在球心的点电荷。）（解答由AI补全）

高斯定理应用：轴对称¶

例：无限长均匀带电直线（电线），线密度 $\lambda$，求距导线 $r$ 处的场强（FA）

笔记：取半径 $r$、高 $h$ 的圆柱面为高斯面。圆柱面分三片：$S = S_1 + S_2 + S_3$（侧面、上底、下底），结果 $E = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$。

【FA：无限长带电直线（完整推导）】

第一步（对称性）：电荷分布轴对称 → 场只能沿垂直于导线的径向（轴向、绕轴切向的分量都被对称性抵消），且同一圆柱面上各点 $E$ 大小相等。

第二步（选高斯面）：过场点作与导线同轴的圆柱面（半径 $r$、高 $h$），加上下两个底面。

第三步（分片算通量）：

侧面 $S_1$：$\vec{E}$ 与 $\mathrm{d}\vec{S}$ 同向、$E$ 处处相等 → $\Phi_1 = E\cdot 2\pi r h$；
上下底面 $S_2, S_3$：$\vec{E}$ 沿径向，与底面法线（沿轴向）垂直 → 无贡献。

\[\oint \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = E\cdot 2\pi r h\]

第四步（数面内电荷）：面内包住的导线长 $h$，电荷 $q_{内} = \lambda h$。

第五步（解出 $E$）：

\[E\cdot 2\pi r h = \frac{\lambda h}{\varepsilon_0} \Rightarrow E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}\]

方向沿径向（$\lambda > 0$ 时背离导线）。特点：$E \propto 1/r$，比点电荷的 $1/r^2$ 衰减得慢。（解答由AI补全）

例：均匀带电圆柱面（半径 $R$）的电场（FA）

笔记骨架：$E = \begin{cases} 0, & r < R \\ \cdots, & r > R \end{cases}$

【FA：均匀带电圆柱面（完整推导）】

与球面完全平行，只是高斯面换成同轴圆柱面（半径 $r$、高 $h$）。设轴向单位长度电荷为 $\lambda$（若给总电荷 $Q$、长 $L$，则 $\lambda = Q/L$）。

① $r < R$：高斯面内无电荷 → $E = 0$（圆柱面内是"无场区"）。

② $r > R$：通量仍为 $E\cdot 2\pi r h$（上下底面无贡献，理由同上一题），面内电荷 $\lambda h$：

\[E\cdot 2\pi r h = \frac{\lambda h}{\varepsilon_0} \Rightarrow E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}\]

即圆柱面外等效于电荷全部集中到轴线上；$r = R$ 处场强跳变。（解答由AI补全）

例：均匀带电圆柱体（半径 $R$）（FA）

【FA：均匀带电圆柱体（完整推导）】

体密度 $\rho$，轴向单位长度电荷 $\lambda = \rho\pi R^2$。

① $r > R$：与上一题相同，$E = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$。

② $r < R$：高斯面只包住半径 $r$ 的圆柱核，面内电荷

\[q_{内} = \rho\cdot\pi r^2 h = \lambda h\cdot\frac{r^2}{R^2}\]

\[E\cdot 2\pi r h = \frac{\lambda h r^2}{\varepsilon_0 R^2} \Rightarrow E = \frac{\lambda r}{2\pi\varepsilon_0 R^2} = \frac{\rho r}{2\varepsilon_0}\]

$E \propto r$，随 $r$ 线性增长——与均匀带电球体内部 $E\propto r$ 的结论形式一致。（解答由AI补全）

高斯定理应用：平面分布¶

例：无限大均匀带电平面，面密度 $\sigma$（FA）

笔记：电场在平面两侧对称，且垂直于带电平面；取一个柱面为高斯面（轴线垂直于平面、两底对称跨在平面两侧）；侧面无贡献，底面贡献。结果 $E = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$。

图：轴线垂直于带电平面的圆柱高斯面，两底面分别位于平面两侧。

【FA：无限大带电平面（完整推导）】

对称性：平面无限大、各点地位相同 → 场垂直于平面（任何平行于平面的分量都会被"镜像"电荷抵消）；两侧对称，$\sigma > 0$ 时都背离平面；大小与到平面的距离无关。

高斯面：轴线垂直于平面、底面积 $S$ 的柱面，两底到平面的距离相等。

分片算通量：

侧面：$\vec{E}$ 与侧面平行（垂直于侧面法线）→ 无贡献；
两个底面：各贡献 $E\cdot S$，共 $2ES$。

\[2ES = \frac{\sigma S}{\varepsilon_0} \Rightarrow E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\]

两侧都是匀强场、与距离无关——和点电荷、直线的"随距离衰减"完全不同。（解答由AI补全）

例：两块无限大均匀带电平行板（$+\sigma$、$-\sigma$）（FA）

笔记：板间加强，板外抵消。

【FA：平行板对（完整推导）】

每块板单独都产生 $\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ 的匀强场（正板两侧的场背离自己，负板两侧的场指向自己），直接矢量叠加：

板间：$+\sigma$ 板的场指向右、$-\sigma$ 板的场也指向右（指向负板），同向相加：

\[E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\]

方向由 $+\sigma$ 板指向 $-\sigma$ 板。

板外：两场一个向左一个向右、大小相等 → 抵消为零。

电场全部集中在板间——这正是平行板电容器的情形（板间近似匀强场，外部无场）。

例：三块带电板（电荷同/不同）（FA）

【FA：三块板（方法与推导）】

方法：还是叠加。每块板都贡献 $\dfrac{\sigma_i}{2\varepsilon_0}$ 的匀强场（$\sigma_i$ 带符号），某区域的合场 = 左边所有板的贡献（向右为正）$-$ 右边所有板的贡献。设三块板从左到右面密度为 $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$，四个区域（以向右为正）：

最左区域：$E = -\dfrac{\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3}{2\varepsilon_0}$；
板 1、2 之间：$E = \dfrac{\sigma_1-\sigma_2-\sigma_3}{2\varepsilon_0}$；
板 2、3 之间：$E = \dfrac{\sigma_1+\sigma_2-\sigma_3}{2\varepsilon_0}$；
最右区域：$E = \dfrac{\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3}{2\varepsilon_0}$。

同号、异号只影响 $\sigma_i$ 的正负，套同一个公式。例：三块板面密度均为 $\sigma$（同号）时，最左 $E = \dfrac{3\sigma}{2\varepsilon_0}$ 向左，两个板间区域均为 $\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ 向右，最右 $\dfrac{3\sigma}{2\varepsilon_0}$ 向右。（解答由AI补全）

例：无限大均匀带电有厚度板（厚 $d$，体密度 $\rho$）（FA）

笔记：分板内、板外讨论。

【FA：有厚度板（完整推导）】

以板的中面为 $x = 0$。对称性与无限大平面相同：场垂直于板面、关于中面对称（两侧等距离处大小相等）。高斯面：轴线垂直于板、底面积 $S$、两底对称分布在中面两侧距中面 $|x|$ 处的柱面。通量恒为 $2ES$（侧面无贡献、两底各 $ES$），两个区域只差"面内电荷怎么数"：

板内（$|x| < d/2$）：高斯面只包住厚度 $2|x|$ 的中间层，$q_{内} = \rho\cdot 2|x|\,S$：

\[2ES = \frac{2\rho|x|S}{\varepsilon_0} \Rightarrow E = \frac{\rho|x|}{\varepsilon_0}\]

$E$ 随 $|x|$ 线性增长，中面处 $E = 0$。

板外（$|x| > d/2$）：高斯面包住整块板厚，$q_{内} = \rho d S$：

\[2ES = \frac{\rho d S}{\varepsilon_0} \Rightarrow E = \frac{\rho d}{2\varepsilon_0}\]

把厚度压扁成面密度 $\sigma = \rho d$，就回到无限大平面的结果——板外是与距离无关的匀强场。（解答由AI补全）

例：上方改为不均匀

笔记原话："上方改为不均匀"，即把上一题（有厚度板）的电荷分布改为不均匀。（AI 补充：若 $\rho$ 只沿厚度方向变化、记 $\rho(x)$，对称性仍保持，做法完全一样，只是"数面内电荷"换成积分：板内 $q_{内} = S\displaystyle\int_{-|x|}^{|x|}\rho(x')\,\mathrm{d}x'$，板外 $q_{内} = S\displaystyle\int_{-d/2}^{d/2}\rho(x')\,\mathrm{d}x'$，再代 $2ES = q_{内}/\varepsilon_0$。若 $\rho$ 还沿平行板面的方向变化，平面对称性被破坏，这套高斯面就不能用了。）（说明由AI补全）

例（综例，PPT）：均匀带电球内挖球形空腔，求腔内场强（FA：图片）

综例PPT：半径R的均匀带电球，电荷体密度ρ，球内有一半径r的球形空腔，空腔中心距球心为a，求空腔内任一点P的电场强度

题目（PPT）：半径 $R$ 的均匀带电球，电荷体密度 $\rho$，球内有一半径 $r$ 的球形空腔，空腔中心距离球心为 $a$，求空腔内任一点 $P$ 的电场强度。

图（PPT）：大球心与腔心相距 $a$；$P$ 在腔内，$\vec{r}_1$ 从大球心指向 $P$，$\vec{r}_2$ 从腔心指向 $P$。PPT 提问：对称性？

思路（笔记原话）：看成大球（密度 $\rho$）和小球（密度 $-\rho$）的叠加。腔内为均匀场！

【FA：空腔综例（完整解答）】

对称性？ 挖掉空腔后，系统对大球心不再球对称，不能直接用高斯定理——所以用补偿法（挖补法）。

第一步（拆分）：把"带空腔的球"看成两个完整球的叠加：

大球：半径 $R$、密度 $+\rho$，球心 $O_1$；
补偿小球：半径 $r$（恰好填满空腔）、密度 $-\rho$，球心 $O_2$（$|O_1O_2| = a$）。

两者叠加后空腔区域净密度恰为零，与原题一致。

第二步（预备结论：均匀带电球内部的场）：把 $Q = \rho\cdot\dfrac{4}{3}\pi R^3$ 代入前面球体例题的 $r<R$ 结果 $E = \dfrac{Qs}{4\pi\varepsilon_0 R^3}$，得距球心 $s$ 处

\[\vec{E} = \frac{\rho}{3\varepsilon_0}\vec{s} \qquad (\vec{s}\ \text{从球心指向场点})\]

第三步（设矢量）：记 $\vec{r}_1 = \overrightarrow{O_1P}$，$\vec{r}_2 = \overrightarrow{O_2P}$，$\vec{a} = \overrightarrow{O_1O_2}$，由三角形关系 $\vec{r}_1 = \vec{a} + \vec{r}_2$。$P$ 在腔内，同时位于大球内部与小球内部，两个结果都可用。

第四步（分别求场并叠加）：

\[\vec{E}_1 = \frac{\rho}{3\varepsilon_0}\vec{r}_1 \ (+\rho\ \text{大球})， \qquad \vec{E}_2 = -\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\vec{r}_2 \ (-\rho\ \text{补偿球})\]

\[\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = \frac{\rho}{3\varepsilon_0}(\vec{r}_1 - \vec{r}_2) = \frac{\rho}{3\varepsilon_0}\vec{a}\]

结论：

\[\vec{E} = \frac{\rho}{3\varepsilon_0}\vec{a}\]

腔内任一点场强完全相同——均匀场（印证笔记"腔内为均匀场！"）：大小 $\dfrac{\rho a}{3\varepsilon_0}$，方向沿 $O_1 \to O_2$（$\rho > 0$）。结果与 $P$ 的位置无关，也与 $R$、空腔半径 $r$ 无关（只需空腔完全在球内）。（解答由AI补全）

2026.9.20（9.6 静电场的环路定理 · 9.7 电势 · 9.8 场强与电势的关系）¶

复习与引入

复习：高斯定理是普适的，但若没有对称性则没法用（微分形式可用）。
引入：静电场为保守场，所以可引入电势，由电势的梯度得场强。

9.6 静电场的环路定理¶

电场力做功（点电荷的电场）

电荷 $q_0$ 从 $a$ 移到 $b$，电场力做的功——先取微元（$\theta$ 为 $\vec{E}$ 与 $\mathrm{d}\vec{l}$ 的夹角，径向场中 $\mathrm{d}l\cos\theta = \mathrm{d}r$）：

\[\mathrm{d}A = \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{l} = q_0\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l} = q_0 E\,\mathrm{d}l\cos\theta = q_0 E\,\mathrm{d}r = \frac{q_0 q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,\mathrm{d}r\]

\[A_{ab} = \int_a^b \mathrm{d}A = \frac{q_0 q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r_a} - \frac{1}{r_b}\right)\]

结果只与起点、终点的 $r_a$、$r_b$ 有关，路径无关 → 保守场 → 可引入"势"。任意带电体产生的静电场同理，各电荷叠加即可。

静电场的环路定理

沿 $acb$、$adb$ 两条路径从 $a$ 到 $b$ 做功相等，而 $bda$ 是 $adb$ 的逆向走法：

\[\int_{acb} q_0\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l} = \int_{adb} q_0\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l} = -\int_{bda} q_0\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l}\]

两项合起来正是沿闭合回路 $acbda$ 的环量，得环路定理：

\[\oint_L \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l} = 0\]

即静电场基本定理（两条）：

高斯定理：有源；
环路定理：有势、无旋。

由 Stokes 定理（FA，不会了）：

\[\oint_L \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l} = \iint_\Sigma (\nabla\times\vec{E})\cdot\mathrm{d}\vec{S}\]

持续缩小回路，得旋度 $\nabla\times\vec{E} = 0$：无涡旋。

【FA：Stokes 定理与"无旋"（不会了 → 讲清楚）】

Stokes 定理说什么：对任意一张以闭合回路 $L$ 为边界的曲面 $\Sigma$，场沿 $L$ 的环量等于场的旋度穿过 $\Sigma$ 的通量，即上式。方向约定用右手定则配套：四指沿回路绕向弯曲，拇指指向面元 $\mathrm{d}\vec{S}$ 的法向。
怎么从"环量恒为零"推出 $\nabla\times\vec{E} = 0$：静电场对任何闭合回路环量都是零，所以对任何曲面 $\Sigma$ 都有 $\iint_\Sigma(\nabla\times\vec{E})\cdot\mathrm{d}\vec{S} = 0$。假如某点旋度不为零，就过该点取一个法向与 $\nabla\times\vec{E}$ 同向的小回路，小面元上的积分 $\approx |\nabla\times\vec{E}|\,\Delta S \neq 0$，矛盾。这就是笔记说的"持续缩小回路"：回路缩到一点，环量就缩成该点的 $\nabla\times\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}$，处处为零只能说明每一点的旋度都是零。
"无涡旋"的直观：旋度度量场的"打转"程度（类比水流里的漩涡：旋度就是漩涡强度）。$\nabla\times\vec{E} = 0$ 意味着静电场处处不打转，电场线不会自己闭合成圈。
一句话总结：$\oint_L\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l} = 0$ 是环路定理的积分形式（对一整条回路说的话），$\nabla\times\vec{E} = 0$ 是微分形式（对每一点说的话），Stokes 定理是两者之间的翻译官。对比预告：后面电磁感应里的感生电场 $\nabla\times\vec{E} = -\partial\vec{B}/\partial t \neq 0$，其电场线恰是闭合涡旋。（解答由AI补全）

数学：散度、旋度、梯度

散度（笔记已给）：

\[\nabla\cdot\vec{E} = \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z}\]

旋度（FA，补充）：

【FA：旋度公式（补充）】

直角坐标系中的展开式（行列式记法最好记）：

\[\nabla\times\vec{E} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ E_x & E_y & E_z \end{vmatrix} = \vec{i}\left(\frac{\partial E_z}{\partial y} - \frac{\partial E_y}{\partial z}\right) + \vec{j}\left(\frac{\partial E_x}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial x}\right) + \vec{k}\left(\frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y}\right)\]

展开：按第一行展开行列式，"正对角线"取正、"反对角线"取负。
每个分量的含义：$x$ 分量 $(\partial E_z/\partial y - \partial E_y/\partial z)$ 度量场在 $yz$ 平面内的"环量密度"（单位面积的环量），其余分量同理。
对照记忆：散度 $\nabla\cdot\vec{E}$ 是标量（源的强度），旋度 $\nabla\times\vec{E}$ 是矢量（涡的强度）。静电场：$\nabla\cdot\vec{E} = \rho/\varepsilon_0$（有源）、$\nabla\times\vec{E} = 0$（无旋）。（解答由AI补全）

梯度（FA，补充）：

【FA：∇ 算子与"三件套"（补充）】

$\nabla$（读 nabla）本身不是场，是一套"求偏导"的指令，写出来像矢量：

\[\nabla \equiv \vec{i}\frac{\partial}{\partial x} + \vec{j}\frac{\partial}{\partial y} + \vec{k}\frac{\partial}{\partial z}\]

三种用法对应矢量分析三件套：

用法	作用对象	结果	静电场中的身份
$\nabla U$ 梯度	标量场	矢量	$\vec{E} = -\nabla U$（见 9.8）
$\nabla\cdot\vec{E}$ 散度	矢量场	标量	$= \rho/\varepsilon_0$（高斯定理微分形式）
$\nabla\times\vec{E}$ 旋度	矢量场	矢量	$= 0$（环路定理微分形式）

记忆：点乘出标量（散度），叉乘出矢量（旋度），直接打在标量上出梯度。（解答由AI补全）

9.7 电势¶

电势能

\[A_{ab} = \int_a^b q_0\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l} = -(W_b - W_a) = -\Delta W\]

（负号很重要：电场力做的功 = 电势能的减少。）

电势能（选参考点为零）：

\[W_P = q_0\int_P^{\text{参考点}\,(P_0,\,+\infty)} \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l}\]

电势

\[U_P = \frac{W_P}{q_0} = \int_P^{+\infty}\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l}\]

（笔记原话：单给 $q$ 没说符号，按正的做。）

电压

\[U_{ab} = \int_a^b \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l}\]

电场力做功

\[A_{ab} = q_0\int_a^b \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l} = q_0(U_a - U_b) \qquad (\text{FA：梳理何时 } a\!\to\! b\text{，何时 } b\!\to\! a)\]

【FA：做功方向梳理——何时 a→b、何时 b→a】

定义自带方向：$U_{ab} \equiv U_a - U_b = \displaystyle\int_a^b\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l}$，下标顺序就是积分路径方向（从第一个下标积到第二个）。$U_{ab} > 0$ 即 $a$ 点电势高。
顺路做功：电荷 $q_0$ 从 $a$ 移到 $b$，$A_{ab} = q_0(U_a - U_b)$。正电荷从高电势到低电势（顺电场线"下坡"）→ $A_{ab} > 0$，电场力推它走；从低到高（"爬坡"）→ $A_{ab} < 0$，此时说"外力克服电场力做功"，外力做的功 $-A_{ab}$ 全部存成电势能。
反着搬：从 $b$ 到 $a$ 则 $A_{ba} = q_0(U_b - U_a) = -A_{ab}$——做功与路径无关、只看始末，方向反过来就差一个负号。
口诀：题目问"从 X 到 Y"，就写 $A_{XY} = q_0(U_X - U_Y)$，正负用"正电荷顺场线做正功"判断。这也正是上面 $A_{ab} = -(W_b - W_a)$ 中那个"很重要"的负号。（解答由AI补全）

零点（参考点）选择

有限带电体系：一般取无限远 / 地面为零点；
无限带电体系：任选一个有限点。

电势叠加原理

1. 点电荷电场的电势（默认零点为沿矢径方向的无限远；换参照点要重算）：

\[U_P = \int_P^{+\infty}\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l} = \int_r^{+\infty}\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,\mathrm{d}r = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}\]

若选 $r = a$ 处为零点：

\[U_P = \int_P^{P_0}\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r} - \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 a}\]

2. 均匀带电球壳的电势：场强分段

\[\vec{E} = \begin{cases} 0, & r < R \\ \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\hat{r}, & r > R \end{cases}\]

电势分段积分（球壳内 $E = 0$，第一段积分贡献为零）：

\[U = \begin{cases} \displaystyle\int_r^R E\,\mathrm{d}r + \int_R^{+\infty}\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,\mathrm{d}r = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R}, & r < R \\[3ex] \displaystyle\int_r^{+\infty}\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,\mathrm{d}r = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r}, & r \geq R \end{cases}\]

图：$U$–$r$ 曲线——$r < R$ 段是水平直线（常数 $\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R}$），$r > R$ 段从同一高度按 $\frac{1}{r}$ 衰减，在 $R$ 处平滑衔接。

场强在表面突变，但电势是连续的——适合分析复杂带电体系。

3. 无限长均匀带电直线的电势（线密度 $\lambda$，求垂直距离 $r$ 处 $P$ 点电势）：

不能选无限远为零点，设 $r_0$ 处 $P_0$ 点电势为零。高斯面选圆柱，轴对称场强由高斯定理得

\[E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r} \qquad (\text{FA：推导，见下方说明})\]

\[U_P = \int_P^{P_0}\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l} = \int_r^{r_0}\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}\,\mathrm{d}r = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac{r_0}{r}\]

$r_0$ 随便选，因为电势都是相对的，比如选 $r_0 = 1\,\mathrm{m}$。

（该场强公式的完整高斯面推导已收录于 2026.9.17 笔记【FA：无限长带电直线（完整推导）】，此处不重复。顺带补一句"为什么不能选无限远为零点"：$\int_r^{+\infty}\frac{\mathrm{d}r}{r}$ 积分发散，电势会跑到无穷大，所以只能选有限参考点。）

4. 点电荷系电场的电势：由场强叠加原理，

\[U_P = \int_P^{+\infty}\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l} = \int_P^{+\infty}(\vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \cdots + \vec{E}_n)\cdot\mathrm{d}\vec{l} = U_{P_1} + U_{P_2} + \cdots + U_{P_n} = \sum_{i=1}^{n}\frac{q_i}{4\pi\varepsilon_0 r_i}\]

仅标量叠加，可以绕过场强（免去矢量合成的麻烦）。对连续带电体：

\[U = \int\mathrm{d}U = \int\frac{\mathrm{d}q}{4\pi\varepsilon_0 r}\]

也可以由电势求场强（求导）。参考点取有限远点时依然成立。

综上，求电势的两条路：1. 首先求 $\vec{E}$，再积分；2. 电荷分布已知，直接电势叠加。

9.8 场强与电势的关系¶

等势面

规定相邻等势面电势差相同；画图约定等势面用虚线（电场线为实线）。性质：

等势面与电场线处处正交。（证：沿等势面从 $a$ 移到 $b$ 电场力不做功，即 $W_{ab} = 0 = q_0\displaystyle\int_a^b\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l}$，而等势面上的路径任意，只能 $\vec{E}$ 与 $\mathrm{d}\vec{l}$ 处处垂直。）
场强指向电势下降方向，且正比于同方向电势的变化率。
等势面密集处场强大。
（空间内）场强为零的连通区域电势相等。

已知电势分布求场强（证明）

\[U_a - U_b = \int_a^{P_0}\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l} - \int_b^{P_0}\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l} = \int_a^b\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l}\]

将单位电荷沿 $x$ 轴移动 $\mathrm{d}x$，即 $A(x,y,z) \to B(x+\mathrm{d}x,y,z)$，在 $\mathrm{d}x$ 内认为 $\vec{E}$ 不变：

\[-\mathrm{d}U = U_a - U_b = \int_a^b\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l} = E_x\,\mathrm{d}x\]

得 $E_x = -\dfrac{\partial U}{\partial x}$；同理 $E_y = -\dfrac{\partial U}{\partial y}$，$E_z = -\dfrac{\partial U}{\partial z}$。于是

\[\vec{E} = E_x\vec{i} + E_y\vec{j} + E_z\vec{k} = -\left(\vec{i}\frac{\partial U}{\partial x} + \vec{j}\frac{\partial U}{\partial y} + \vec{k}\frac{\partial U}{\partial z}\right) = -\nabla U \ (\text{梯度}) \qquad (\text{必须注意负号})\]

数学：矢量微分算子与方向导数

\[\nabla \equiv \vec{i}\frac{\partial}{\partial x} + \vec{j}\frac{\partial}{\partial y} + \vec{k}\frac{\partial}{\partial z}\]

方向导数（位移方向 $l$ 与等势面法线 $n$ 成 $\theta$ 角）：

\[\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}l} = \frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}n}\cos\theta\]

法线方向变化率最大，即梯度：

\[\nabla U = \mathrm{grad}\,U = \frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}n}\,\vec{n}\]

总结：求场强方法

库仑定律 + 叠加；2. 高斯定理；3. 电势求梯度。

例：外半径 $R_2$ 的均匀带电圆盘（面密度 $\sigma$），中心挖去半径 $R_1$ 的圆，求轴线上 $P$ 点的电势与场强

图：带孔圆盘（垫圈形），过盘心垂直于盘面的轴线上有场点 $P$（距盘心 $x$）。

取微元圆环：半径 $r$、宽 $\mathrm{d}r$，$\mathrm{d}q = \sigma\cdot 2\pi r\,\mathrm{d}r$，则

\[\mathrm{d}U = \frac{\mathrm{d}q}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{r^2+x^2}}\]

代入 $\mathrm{d}q$ 积分：

\[U_P = \int_{R_1}^{R_2}\frac{\sigma r\,\mathrm{d}r}{2\varepsilon_0\sqrt{r^2+x^2}} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(\sqrt{R_2^2+x^2} - \sqrt{R_1^2+x^2}\right)\]

场强只有 $x$ 分量：

\[E = E_x = -\frac{\partial U}{\partial x} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(\frac{x}{\sqrt{R_1^2+x^2}} - \frac{x}{\sqrt{R_2^2+x^2}}\right)\]

PPT 补充：电偶极子 · 不同坐标系下的梯度（详细讲解）¶

本次两页 PPT 的文字提取如下（按要求放在最后），逐行讲解见各折叠块。

PPT 一：例——电偶极子的电场

$U = U_+ + U_- = -k\dfrac{\vec{p}\cdot\vec{r}}{r^3}$，偶极矩 $\vec{p} \equiv q\vec{l}$
$\vec{E} = -\nabla U = k\left(\dfrac{3\vec{p}\cdot\vec{r}}{r^5}\vec{r} - \dfrac{\vec{p}}{r^3}\right)$
配图：等量异号点电荷的电场线（实线）与等势线（虚线）分布（课本 Fig. 4-13）

PPT 二：例——在均匀外电场中，电偶极子的电势能

$W = q(U_+ - U_-) = -qEl\cos\theta = -\vec{p}\cdot\vec{E}$
在外电场中，偶极矩趋向转向场强
复杂静电问题，解泊松方程：$\vec{\nabla}\cdot\vec{E} = \dfrac{\rho_e}{\varepsilon_0}$、$\vec{E} = -\nabla\phi$，得 $\nabla^2\phi = -\dfrac{\rho}{\varepsilon}$

【FA：电偶极子两例 + 泊松方程（逐行讲解）】

① 模型与偶极矩：电偶极子 = 相距 $l$ 的一对等量异号点电荷 $+q$、$-q$，且只在 $r \gg l$ 的远处看它（把这一对电荷当"一个东西"）。偶极矩 $\vec{p} = q\vec{l}$，$\vec{l}$ 从 $-q$ 指向 $+q$，所以 $\vec{p}$ 指向正电荷一侧。

② 电势：$U = U_+ + U_- = kq\left(\dfrac{1}{r_+} - \dfrac{1}{r_-}\right)$。以偶极子中心为原点、$\vec{p}$ 沿极轴，场点到中心距离 $r$、方向与 $\vec{p}$ 夹角 $\theta$，则 $r_+ \approx r - \frac{l}{2}\cos\theta$、$r_- \approx r + \frac{l}{2}\cos\theta$（离 $+q$ 近一点就远一点），通分：

\[U \approx kq\,\frac{\left(r+\frac{l}{2}\cos\theta\right)-\left(r-\frac{l}{2}\cos\theta\right)}{r^2} = k\frac{p\cos\theta}{r^2} = k\frac{\vec{p}\cdot\vec{r}}{r^3}\]

注意：PPT 上 $U$ 那行带负号（$-k\,\vec{p}\cdot\vec{r}/r^3$），疑为笔误——沿 $\vec{p}$ 方向的远点离 $+q$ 更近、电势应为正；而且只有取正号，下一步求梯度才能得到 PPT 自己写的 $\vec{E}$。

③ 场强（由电势求梯度，$U$ 只依赖 $r$、$\theta$）：

\[E_r = -\frac{\partial U}{\partial r} = \frac{2kp\cos\theta}{r^3}, \qquad E_\theta = -\frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial\theta} = \frac{kp\sin\theta}{r^3}\]

两分量打包就是 PPT 的矢量式 $\vec{E} = k\left(\dfrac{3(\vec{p}\cdot\vec{r})\,\vec{r}}{r^5} - \dfrac{\vec{p}}{r^3}\right)$。检验两个特殊方向：轴线上（$\theta = 0$）$E = \dfrac{2kp}{r^3}$ 沿 $\vec{p}$；中垂面上（$\theta = 90^\circ$）$E = \dfrac{kp}{r^3}$ 与 $\vec{p}$ 反向。衰减规律：$U \propto 1/r^2$、$E \propto 1/r^3$——比点电荷快一档，因为远处 $+q$、$-q$ 的贡献几乎互相抵消，只剩这点"残余"。

④ 均匀外场中的电势能：外场均匀，沿场方向走 $l\cos\theta$ 电势就降 $El\cos\theta$，故 $U_+ - U_- = -El\cos\theta$，

\[W = q(U_+ - U_-) = -qEl\cos\theta = -\vec{p}\cdot\vec{E}\]

$\vec{p}\parallel\vec{E}$ 时 $W = -pE$ 最小（稳定平衡，类比指南针指针稳定指北）；$\vec{p}$ 反平行时 $W = +pE$ 最大（不稳）。能量往低处走，所以"偶极矩趋向转向场强"。（支撑这句的力矩公式 PPT 没写，补上：$\vec{\tau} = \vec{p}\times\vec{E}$，大小 $pE\sin\theta$，作用就是把 $\vec{p}$ 拧向 $\vec{E}$。）

⑤ 泊松方程：叠加、高斯都要求电荷分布好算；复杂边界问题换思路——不求 $\vec{E}$，先求标量 $\phi$。把 $\vec{E} = -\nabla\phi$ 代入高斯定理微分形式 $\nabla\cdot\vec{E} = \rho_e/\varepsilon_0$：

\[\nabla\cdot(-\nabla\phi) = \frac{\rho}{\varepsilon} \;\Rightarrow\; \nabla^2\phi = -\frac{\rho}{\varepsilon}\]

$\nabla^2 = \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2}{\partial z^2}$（拉普拉斯算子）；$\varepsilon$ 是介质介电常数（真空取 $\varepsilon_0$）；无电荷区域 $\rho = 0$ 时叫拉普拉斯方程。好处：三个分量的矢量问题变成一个标量的偏微分方程，配边界条件解出 $\phi$，再 $\vec{E} = -\nabla\phi$ 收尾。（解答由AI补全）

PPT 三：梯度在不同坐标系的表述

球坐标：

\[\nabla U = \vec{e}_r\frac{\partial U}{\partial r} + \vec{e}_\theta\,\frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial\theta} + \vec{e}_\phi\,\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial U}{\partial\phi}\]

柱坐标：

\[\nabla U = \vec{e}_r\frac{\partial U}{\partial r} + \vec{e}_\phi\,\frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial\phi} + \vec{e}_z\frac{\partial U}{\partial z}\]

坐标变换（PPT 原文，$\mathrm{tg}^{-1}$ 即 $\arctan$）：

\[\begin{cases} x = r\sin\theta\cos\phi \\ y = r\sin\theta\sin\phi \\ z = r\cos\theta \end{cases} \qquad\quad \begin{cases} r = \sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ \theta = \cos^{-1}\dfrac{z}{r} \\ \phi = \mathrm{tg}^{-1}\dfrac{y}{x} \end{cases}\]

【FA：坐标系里的梯度——为什么多出 1/r、怎么用】

为什么多出 $\frac{1}{r}$、$\frac{1}{r\sin\theta}$：偏导 $\frac{\partial U}{\partial\theta}$ 是"$\theta$ 增加 1 弧度时 $U$ 变多少"，但梯度要的是"沿空间每走 1 米 $U$ 变多少"。球坐标里 $\theta$ 变 $\mathrm{d}\theta$ 实际只走 $r\,\mathrm{d}\theta$ 的弧长，$\phi$ 变 $\mathrm{d}\phi$ 只走 $r\sin\theta\,\mathrm{d}\phi$，所以换算成"每米变化率"要除以步长：$\frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial\theta}$、$\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial U}{\partial\phi}$。直观：越靠近极轴（$\theta \to 0$），同一 $\mathrm{d}\phi$ 对应的圆圈越短，这个因子把这种"密集"自动放大进去。径向不用除——$r$ 本身就是长度，$\mathrm{d}r$ 走多远算多远。
怎么用（和笔记对上）：球对称问题 $U = U(r)$ 只依赖 $r$，后两项全为零，$\vec{E} = -\nabla U = -\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}r}\hat{r}$，三元偏导退化成一元求导——上面球壳由电势看场强就是这种情形；柱对称（无限长直线）同理只剩 $\vec{e}_r$ 项。这正是 9.8"电势求梯度"方法在对称问题上的省力之处。
三个角的角色：$r$ 是到原点的距离，$\theta$ 从 $+z$ 轴量起（极角），$\phi$ 是 $xy$ 平面内从 $+x$ 轴量起的方位角。（解答由AI补全）

2026.9.22（10.1 静电场中的导体：导体的静电平衡 · 静电屏蔽）¶

上节课补例（FA）：两根均匀带异号电荷的长直导线激发的电场¶

图：两根无限长平行直导线（均垂直纸面），左线线密度 $-\lambda$、右线 $+\lambda$，各距中点 $O$ 为 $a$（相距 $2a$）。场点 $P(x,y)$，到 $-\lambda$、$+\lambda$ 的距离分别为 $r_1$、$r_2$。求 $P$ 点场强、电势。

【FA：两根异号线电荷的场强与电势（不会 → 完整解法）】

几何设定：$+\lambda$ 过 $(a,0)$、$-\lambda$ 过 $(-a,0)$，均沿 $z$ 方向；场点 $P(x,y)$ 到两线的垂直距离

\[r_2 = \sqrt{(x-a)^2+y^2}\ \ (\text{到 } +\lambda), \qquad r_1 = \sqrt{(x+a)^2+y^2}\ \ (\text{到 } -\lambda)\]

场强：单根无限长线电荷在距离 $r$ 处产生 $E = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$（2026.9.17 已推导），方向在垂直于线的平面内沿径向（正线发散、负线汇聚）。两线贡献矢量相加：

\[\vec{E} = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\left[\frac{(x-a)\,\vec{i}+y\,\vec{j}}{r_2^2} - \frac{(x+a)\,\vec{i}+y\,\vec{j}}{r_1^2}\right]\]

即 $E_x = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{x-a}{r_2^2} - \dfrac{x+a}{r_1^2}\right)$，$E_y = \dfrac{\lambda y}{2\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{1}{r_2^2} - \dfrac{1}{r_1^2}\right)$。

电势：无限长线电荷不能取无限远为零点（9.7 节结论），取两线正中间的中垂面 $x=0$ 为零电势面。单根线以参考距离 $r_0$ 计的电势为 $\mp\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\dfrac{r}{r_0}$（正线取负号、负线取正号），叠加后参考常数合并为一项 $C$，并按 $x=0$ 处 $U=0$ 定 $C=0$：

\[U_P = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac{r_1}{r_2} = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0}\ln\frac{(x+a)^2+y^2}{(x-a)^2+y^2}\]

检验：$x=0$ 处 $r_1 = r_2$，$U = 0$ ✓；趋近 $+\lambda$（$r_2 \to 0$）$U \to +\infty$ ✓。顺带一提：令 $U$ 取常数可得等势线是一族圆（阿波罗尼奥斯圆），这正是两线传输线的场型。（解答由AI补全）

10.1 静电场中的导体¶

新课引入：实际设备中必有导体和电介质，而原先都不知道电荷分布，怎么办——先研究静电场中的导体。

一、导体的静电平衡¶

静电平衡的建立：把导体扔进（匀强）电场，电场分布会发生变化，导体内电荷会迁移，但总电荷一定守恒！总场强 = 外电场 $\vec{E}_0$ + 感应电荷的附加场 $\vec{E}'$：

\[\vec{E} = \vec{E}_0 + \vec{E}'\]

静电平衡：导体内电子的宏观定向运动完全停止，即

\[\vec{E}_{\text{内}} = \vec{E}_0 + \vec{E}' = 0, \qquad \text{且}\ \vec{E}_{\text{表面}} \perp \text{表面}\]

静电平衡下导体的性质

（1）上方两条：$\vec{E}_{\text{内}} = 0$、$\vec{E}_{\text{表面}} \perp$ 表面（以下性质都由它们推出）。

（2）导体内部为等势体，导体表面为等势面。

推导：$U_a - U_b = \displaystyle\int_a^b \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l}$，因 $\begin{cases} \vec{E} = 0 & (\text{内}) \\ \vec{E} \perp \mathrm{d}\vec{l} & (\text{表面}) \end{cases}$，得 $U_a = U_b$。

（3）导体内部电荷处处为零。

推导：高斯定理 $\displaystyle\oint_S \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = \frac{\Sigma q}{\varepsilon_0}$，导体内取任意小高斯面。因 $\vec{E}_{\text{内}} = 0$，通过高斯面的电通量为 $0$，故 $\Sigma q = 0$。

【FA：任意小高斯面为什么合法（不会 → 讲清楚）】

"任意"是关键词：高斯面是在导体内随便取的小闭合面，想套哪儿套哪儿、想多小多小。"任何一个小体积里净电荷都是零"就等价于"处处无净电荷"——假如某点附近真有一团净电荷 $\rho$，包住它的小高斯面通量 $\approx \rho\,\Delta V/\varepsilon_0 \neq 0$，与 $\vec{E}_{\text{内}} = 0$ 矛盾。
"会不会正负抵消？" 高斯定理管的是净电荷，但这不是靠巧合：假如导体内某处有净电荷，它会在周围产生电场、推动自由电子移动，直到电荷重新分布、场处处为零才停下——"内部无净电荷"是平衡的结果，不是前提。
逻辑链：静电平衡 ⇒ $\vec{E}_{\text{内}} = 0$ ⇒（高斯定理）导体内任意小高斯面 $\Sigma q = 0$ ⇒ 内部电荷处处为零，电荷只能分布在表面。（解答由AI补全）

（4）导体表面的电荷面密度与表面附近场强成正比。（推导【见课本P55】）得

\[E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \;\Rightarrow\; \sigma = \varepsilon_0 E\]

可由场强求表面电荷分布。

（5）孤立导体的电荷面密度 $\sigma$ 与相应表面曲率有关：曲率越大（曲率半径越小），则 $\sigma$ 越大，场强也越大：

\[E \propto \sigma \propto \frac{1}{r}\]

【FA：泊松方程视角——不同曲率/角度尖端附近的电荷行为】

泊松方程怎么看这件事：泊松方程 $\nabla^2\phi = -\rho/\varepsilon_0$（上节 PPT 已给）。导体内部 $\phi$ 是常数、电荷只分布在表面，于是导体外的场完全由"导体表面是等势面"这一边界条件下的拉普拉斯方程（$\rho = 0$ 区域）决定。曲率大的地方等势面挤得密、弯得急，$\vec{E} = -\nabla\phi$ 就大，再由 $\sigma = \varepsilon_0 E_n$ 反推：电荷在那里堆得密。
一个能算的模型：半径 $R_1$、$R_2$ 的两个导体球用细导线相连（电势同为 $U$），则 $q_i = 4\pi\varepsilon_0 R_i U$，面密度 $\sigma_i = \varepsilon_0 U / R_i \propto 1/R_i$，附近场强 $E_i = \sigma_i/\varepsilon_0 \propto 1/R_i$——半径小 10 倍，$\sigma$ 与 $E$ 就大 10 倍。尖端可视为"局部半径极小"的极限。
"不同角度"：导体表面拐角越尖（楔形夹角越小），解出的角顶附近 $\sigma$ 随距离的幂次发散越厉害，场与电荷都往尖端集中——这就是尖端放电的几何根源。（解答由AI补全）

【FA：静电现象的应用（避雷针、静电复印机、静电除尘、静电加速器等）】

避雷针：针尖曲率极大 → $\sigma$、$E$ 极大 → 率先尖端放电（电晕），把云中电荷缓慢泄放入大地，保护建筑物。
静电复印机：光电导鼓面先均匀充电，曝光后形成静电"潜像"，带异号电荷的墨粉被吸附成像，再转印到纸上加热定影。
静电除尘：烟气流过高压电晕区，尘粒带电后被异性集尘电极吸附收集（烟囱除尘）。
静电加速器（范德格拉夫起电机）：用尖端放电把电荷源源不断送进大金属球壳（电荷只分布在球壳外表面），球壳电势可升至数兆伏，用来加速带电粒子。
笔记原文末项为"静电加速器及启【?】器"（字迹不清/被裁，疑为"起电机"一类，待补认）。（解答由AI补全）

二、静电屏蔽（导体空腔，在静电平衡下）¶

（1）空腔内部无带电体

内表面不可能有任何电荷。否则若有电荷，则有电场，沿场线走必有电势差，与等势体矛盾。内部由静电平衡必无电荷；外表面可以有。
空腔内部场强处处为零。
若有外电场：导体外表面有感应电荷，但叠加后必使导体内及空腔内总场强为 $0$——外场进不来。
应用：电工的高压线带电金属作业服（笔记旁小图：高压线上作业的人）。

（2）空腔内部有带电体

内表面出现感应电荷，且内表面总电量与腔内电荷量相等、符号相反；电荷分布与腔形状及带电体位置有关（电像法，FA 见下）。
若内表面感应 $-q$、外壳净带电 $Q$，由电荷守恒，外表面总带电 $Q+q$——腔内电荷"透"到外面来了。

【FA：电像法（补充）】

一句话：难算的感应电荷，用一个（或几个）假想的"像电荷"代替——只要真实电荷加像电荷共同满足"导体表面是等势面（接地则为零电势）"的边界条件，由唯一性定理，待求区域的真空解就是这两组电荷的叠加解。

两个标准结果：

点电荷 $q$ 距无限大接地导体平面 $d$：像电荷 $-q$，位于平面另一侧对称处（距面也是 $d$）。
点电荷 $q$ 距半径 $R$ 的接地导体球球心 $d\ ( > R)$：像电荷 $q' = -\dfrac{R}{d}q$，位于球心与 $q$ 的连线上、距球心 $\dfrac{R^2}{d}$ 处（球内）。

注意：像电荷是"记账工具"，导体内部并没有真的它。腔内带电体的感应电荷分布确实随位置变（居中与偏一侧不同），电像法正是处理这类"分布与位置有关"问题的标准工具之一。（解答由AI补全）

（3）导体腔接地，且腔外没有带电体，内部有带电体 $q$

接地 ⇒ 电势为零。外表面感应电荷被大地中和，内表面还是 $-q$。即内部带电体对外界无影响。

（4）接地，内外都有带电体

外表面感应电荷与外部电荷叠加，保证（接地）电势为零（外表面为等势面），保证腔体 $\vec{E} = 0$（内表面等势）；内表面感应电荷和内部电荷叠加。即内外互不影响。

课本图 10.6 直观对照：(a) 未接地——腔内 $+q$ 使内表面感应 $-$，外表面出现 $+$，外部仍有电场线穿出；(b) 接地——外表面电荷被中和，外场消失。接地的导体空腔可以隔离内外电场的影响；用编织较密的金属丝网代替导体空腔、接地后也基本能起静电屏蔽作用。

课本图10.6 接地的导体空腔可以隔离内外电场的影响：(a) 未接地，外表面有感应正电荷、电场线穿出；(b) 接地后外表面电荷被中和、外部无场

（课本补充：高压带电作业时穿戴金属丝网布制成的均压服——均压服相当于一个导体空腔将人体屏蔽起来，高压线与均压服之间发生电火花放电，使两者达到等电势，操作人员在等势区内工作自然毫无危险。电子设备使用接地的金属罩壳防止各部分相互影响和外界干扰；传送电讯号的屏蔽线在绝缘层外再加金属网屏蔽层；无线电厂调试室整个空间安装接地密铜丝网成为屏蔽室——都是静电屏蔽原理的应用。）

例题：课本例 10.1 · 课本例 10.2 · PPT 例 3¶

例 10.1（课本 P58） 一块面积为 $S$ 的金属大薄平板 A，带电量为 $Q$，在其附近平行放置另一块不带电的金属大薄平板 B，两板间距远小于板的线度。试求两板表面的电荷面密度，以及周围空间的场强分布。

课本例10.1图：平行板 A、B 四个表面的电荷面密度 σ1–σ4、板内考察点 PA、PB 与三个区域的场强 E1、E2、E3（照片含课堂手写批注 σ2+σ3=0、σ1+σ2+σ3−σ4=0）

解（课本解法，含课堂批注）：静电平衡时，电荷分布在平板表面，设各表面的电荷面密度分别为 $\sigma_1$、$\sigma_2$、$\sigma_3$、$\sigma_4$（如图）。由电荷守恒，根据题意有

\[\text{A 板：}\ \sigma_1 + \sigma_2 = \frac{Q}{S} \quad \text{①} \qquad\qquad \text{B 板：}\ \sigma_3 + \sigma_4 = 0 \quad \text{②}\]

课堂批注：相对两面 $\sigma_2 + \sigma_3 = 0$。

将带电平面视为"无限大"，则它们产生的电场是均匀场，大小 $\sigma/2\varepsilon_0$；空间任一点的场强是四个带电平面场强的叠加。静电平衡要求金属板内场强处处为零（批注：板内任一点都可以，不必非取图中 $P_A$、$P_B$）。取向右方向为正，对 $P_A$ 点有：

\[\frac{\sigma_1}{2\varepsilon_0} - \frac{\sigma_2}{2\varepsilon_0} - \frac{\sigma_3}{2\varepsilon_0} - \frac{\sigma_4}{2\varepsilon_0} = 0 \quad \text{③}\]

对 $P_B$ 点有（批注：即 $\sigma_1 + \sigma_2 + \sigma_3 - \sigma_4 = 0$）：

\[\frac{\sigma_1}{2\varepsilon_0} + \frac{\sigma_2}{2\varepsilon_0} + \frac{\sigma_3}{2\varepsilon_0} - \frac{\sigma_4}{2\varepsilon_0} = 0 \quad \text{④}\]

解上述四个方程，可得

\[\sigma_1 = \frac{Q}{2S}, \qquad \sigma_2 = \frac{Q}{2S}, \qquad \sigma_3 = -\frac{Q}{2S}, \qquad \sigma_4 = \frac{Q}{2S}\]

因此金属板 A 和 B 将空间分成三个区域，它们的场强大小分别为（方向如图：$E_1$ 向左，$E_2$、$E_3$ 向右）

\[E_1 = E_2 = E_3 = \frac{1}{2\varepsilon_0}\cdot\frac{Q}{S}\]

【FA：例 10.1 拓展——两板带不同电荷、四块板/多块板怎么办】

两板带不同电荷 $Q_A$、$Q_B$（面积 $S$）：守恒律换成 $\sigma_1 + \sigma_2 = \dfrac{Q_A}{S}$、$\sigma_3 + \sigma_4 = \dfrac{Q_B}{S}$，③④不变。妙处是设一个未知数就够：③ − ④ 得 $\sigma_3 = -\sigma_2$（相对面互为相反数）。设 $\sigma_2 = x$，则 $\sigma_3 = -x$，$\sigma_1 = \dfrac{Q_A}{S} - x$，$\sigma_4 = \dfrac{Q_B}{S} + x$，代回 ③：

\[\frac{Q_A}{S} - x - x + x - \frac{Q_B}{S} - x = 0 \;\Rightarrow\; x = \frac{Q_A - Q_B}{2S}\]

于是

\[\sigma_1 = \sigma_4 = \frac{Q_A + Q_B}{2S}\ \ (\text{两外表面平分总电荷})， \qquad \sigma_2 = -\sigma_3 = \frac{Q_A - Q_B}{2S}\ \ (\text{相对面等量异号})\]

场强：两板之间 $E = \dfrac{Q_A - Q_B}{2\varepsilon_0 S}$；板外两侧 $E = \dfrac{Q_A + Q_B}{2\varepsilon_0 S}$。两个特例正好对上：课本题即 $Q_B = 0$；平行板电容器即 $Q_B = -Q_A$（外侧场为零、电荷全在内侧面，板间 $E = \dfrac{Q_A}{\varepsilon_0 S}$）。

四块板/多块板：方法不变——每板一个电荷守恒方程 + 每板内取一点写零场方程。硬解 $2N$ 个未知数可以，但先用"相对面互为相反数"能把未知数砍到 $N+1$ 个，这就是笔记"设一个未知数即可"的意思。对 $N$ 块板（从左到右带电 $Q_1, \dots, Q_N$，第 $i$ 道缝隙两侧面密度记 $\pm x_i$）有现成结论：

最外两个表面平分总电荷：$\sigma_{\text{左外}} = \sigma_{\text{右外}} = \dfrac{Q_1 + \cdots + Q_N}{2S}$；
缝隙 $i$：$x_i = \dfrac{(Q_1 + \cdots + Q_i) - (Q_{i+1} + \cdots + Q_N)}{2S}$（"左边总电荷减右边总电荷"除以 $2S$），缝隙内场强 $E_i = \dfrac{x_i}{\varepsilon_0}$。

四块板即 $N = 4$：$x_1 = \dfrac{Q_1 - Q_2 - Q_3 - Q_4}{2S}$，$x_2 = \dfrac{Q_1 + Q_2 - Q_3 - Q_4}{2S}$，$x_3 = \dfrac{Q_1 + Q_2 + Q_3 - Q_4}{2S}$。用 $N = 2$ 自检：恰得 $\sigma_2 = x_1 = \dfrac{Q_A - Q_B}{2S}$、外表面 $\dfrac{Q_A + Q_B}{2S}$，与上面一致。（解答由AI补全）

例 10.2（课本 P59） 如图所示，一半径为 $R_1$ 的导体球 A，带有电量 $q$；球外有一内、外半径分别为 $R_2$ 和 $R_3$ 的同心球壳 B，带有电量 $Q$。（1）试求球 A 和球壳 B 的电势；（2）若用细导线连接球 A 和球壳 B，再求其电势；（3）若未连接时使外球接地，此时其电势又是多少？

课本例10.2图：(a) 球A带q，球壳B内表面感应−q、外表面Q+q（批注：球内及壳内 E=0）；(b) 用导线连接后电荷全部移到球壳外表面；(c) 球壳接地，外表面电荷被中和

解（课本解法）

（1） 由静电平衡条件可知，导体球和球壳内的场强为零，电荷均匀分布在表面上。若在球壳 B 内作一高斯面，根据高斯定理可求得球壳内表面的感应电荷为 $-q$；由于电荷守恒，球壳外表面的感应电荷为 $+q$，其总电荷为 $(Q+q)$，如图 (a) 所示。

在球内、球与球壳间、球壳外分别作同心球面为高斯面，应用高斯定理，求得空间的场强分布为

\[E = \begin{cases} \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}, & R_1 < r < R_2 \\[2ex] 0, & R_2 < r < R_3 \\[2ex] \dfrac{Q+q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}, & r > R_3 \end{cases}\]

根据电势定义，外球壳的电势为

\[U_B = \int_{R_3}^{+\infty} \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l} = \int_{R_3}^{+\infty} \frac{Q+q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,\mathrm{d}r = \frac{Q+q}{4\pi\varepsilon_0 R_3}\]

内球 A 的电势为（两段场不为零的区域都要积分）

\[U_A = \int_{R_1}^{+\infty} \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l} = \int_{R_1}^{R_2} \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,\mathrm{d}r + \int_{R_3}^{+\infty} \frac{Q+q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,\mathrm{d}r = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q}{R_1} - \frac{q}{R_2} + \frac{Q+q}{R_3}\right)\]

（2） 若用导线连接球 A 和球壳 B，电荷将全部分布在球壳外表面（图 (b)）。此时两者电势相等，即

\[U_A = U_B = \frac{q+Q}{4\pi\varepsilon_0 R_3}\]

（3） 若球壳接地，则其外表面电荷被中和（图 (c)），外壳与地球等电势。通常取大地电势为零，即 $U_B = 0$（课堂批注：此时 $E_3 = 0$，球壳外无场），所以球 A 电势为

\[U_A = \int_{R_1}^{R_2} \vec{E}_2\cdot\mathrm{d}\vec{r} = \int_{R_1}^{R_2} \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,\mathrm{d}r = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)\]

【FA：例 10.2 解法二——电势叠加法（PPT 转文字）】

工具就是 9.7 节均匀带电球壳的电势：半径 $R$、带电 $q$ 的球面，在球外（含球面本身）产生 $\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}$，在球内处处产生常数 $\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 R}$（"球壳内部势"）。电势是标量，三个球面电荷各算各的，直接相加。

求 $U_A$：球 A 电势即 $R_1$ 处的总电势。 先求每一球面电荷在 $R_1$ 产生的电势：

$R_1$ 球面的电荷在 $R_1$ 产生电势：$U_1 = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 R_1}$；
$R_2$、$R_3$ 面电荷在 $R_1$ 的电势（$R_1$ 都在它们内部，"都是球壳内部势"）：$U_1' = \dfrac{-q}{4\pi\varepsilon_0 R_2}$，$U_1'' = \dfrac{Q+q}{4\pi\varepsilon_0 R_3}$。

\[U_A = U_1 + U_1' + U_1'' = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q}{R_1} - \frac{q}{R_2} + \frac{Q+q}{R_3}\right)\]

与积分法一致。$U$–$r$ 曲线：$r < R_1$ 段水平（常数），往外按 $1/r$ 衰减——就是 9.7 节球壳那张图（PPT 原话："记得吗？"）。

求 $U_B$：球壳 B 的电势就是 $R_3$ 处的总电势。（壳是导体，$R_2$ 与 $R_3$ 之间等电势，在哪算都一样——PPT 追问"若选择计算 $R_2$ 处总电势，结果一样吗？必须的！"）

$R_1$ 面电荷在 $R_3$ 处产生的电势（$R_3$ 在其外部，按点电荷）：$U_3 = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 R_3}$；
$R_2$、$R_3$ 面上电荷在 $R_3$ 处产生的电势：$U_3' = \dfrac{-q}{4\pi\varepsilon_0 R_3}$（自身球面），$U_3'' = \dfrac{Q+q}{4\pi\varepsilon_0 R_3}$。

\[U_B = U_3 + U_3' + U_3'' = \frac{Q+q}{4\pi\varepsilon_0 R_3}\]

方法对比：解法一先求 $\vec{E}$ 再分段积分；电势叠加法绕过矢量合成，标量加法一步出结果，"壳内常数势"一条把导体内部的电势直接写出来，对多球面体系尤其省力。（PPT 内容转写，讲解由AI补全）

例 3（PPT） 面积 $S$ 的二块大导体板，板距 $d$，右板接地，左板维持电势 $U_0$。把带电 $Q$ 的导体薄板 c 插入正中间，求薄板 c 的电势（即 $t \to 0$）。

PPT例3图：三块平行大导体板——左板接电源维持U0、中插厚t的带电薄板c、右板接地；电荷分布标注：左板内表面σ′，c左面−σ′、右面σ′+σ，右板内表面−(σ′+σ)

解（PPT 解法） 设左板右侧（内表面）电荷面密度 $\sigma'$，则静电平衡下电荷分布如图（值待定）：左板内表面 $\sigma'$；薄板 c 左面 $-\sigma'$、右面 $\sigma' + \sigma$（$\sigma \equiv Q/S$，c 两面之和恰为 $\sigma$）；右板内表面 $-(\sigma' + \sigma)$。相对面互为相反数（正是"保证 c 板内 $\vec{E} = 0$"的要求），两外表面不带电（接地）。

于是两道缝隙中的场都是各自相对面构成的整体（这对相对面之外的电荷在缝隙中场为零），均匀场强为

\[E_1 = \frac{\sigma'}{\varepsilon_0}\ \ (\text{左板与 c 之间})， \qquad E_2 = \frac{\sigma' + \sigma}{\varepsilon_0}\ \ (\text{c 与右板之间})\]

从左板走到接地的右板，电势降落在两道缝隙上（板距 $d$、c 居中，每段 $d/2$）：

\[U_0 = \frac{\sigma'}{\varepsilon_0}\cdot\frac{d}{2} + \frac{\sigma' + \sigma}{\varepsilon_0}\cdot\frac{d}{2} = \frac{d}{\varepsilon_0}\left(\sigma' + \frac{\sigma}{2}\right)\]

求得

\[\sigma' = \frac{\varepsilon_0 U_0}{d} - \frac{\sigma}{2}\]

薄板 c 的电势（相对接地的右板，只算右边一道缝隙）：

\[U_c = \frac{\sigma' + \sigma}{\varepsilon_0}\cdot\frac{d}{2} = \frac{U_0}{2} + \frac{dQ}{4\varepsilon_0 S}\]

PPT 点评：若 c 不带电，$U_c = U_0/2$；带电会影响电场！——修正项 $+\dfrac{dQ}{4\varepsilon_0 S}$ 就是带电薄板引起的。（解答与 PPT 一致，衔接步骤由AI补全）

2026.9.24（10.2 电容器 · 10.3 电介质 · 10.4 电介质中静电场的基本定理）¶

10.2 电容器¶

1. 孤立导体的电容¶

已知孤立导体球 $U = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 R}$，即 $q \propto U$。定义电容

\[C = \frac{q}{\Delta U}\]

e.g. 孤立导体球：$C = 4\pi\varepsilon_0 R$。

2. 典型电容器¶

电容器 = 两个导体：把电能局限在较小的区域，提高能量密度，防外界干扰。（串联时各电容电荷相同、电压相加；并联时电压相同、电荷相加——第 3 小节两串式子的来历。）

（1）平行板电容器

板间真空，极板面积 $S$、间距 $d$，上下板分别带 $+q$、$-q$，则板间场强

\[E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\quad(\sigma = q/S)\]

【FA：E = σ/ε₀ 的推导】

2026.9.17"平面分布"一节已推：单块无限大均匀带电平面两侧各是匀强场 $\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$。正、负两板矢量叠加——板间两场同向，$E = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} + \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}$；板外两场反向相消，$E = 0$。场被完全"关"在两板之间，这正是电容器防外界干扰的原因。（解答由AI补全）

则

\[U_A - U_B = Ed = \frac{q}{\varepsilon_0 S}\,d \;\Rightarrow\; C = \frac{q}{\Delta U} = \frac{\varepsilon_0 S}{d}\]

【FA：为什么分子是 q 而非 2q（"q 不同呢"？）】

"q 不同呢"：静电感应保证两板电荷永远等量异号——$+q$ 与 $-q$ 大小相同，所以"取哪块板上的电荷"答案都一样，这个统一的大小记作 $q$。
为什么不用 $2q$：电容定义里的 $q$ 规定为一个极板上电荷的大小，也就是充电时从一板搬到另一板、流过导线的电荷。决定电压的也是它：$U = qd/(\varepsilon_0 S) \propto q$（"两块板"的贡献已经体现在场强叠加的那个 2 倍里了，见上条推导）。若把分子写成 $2q$，只是把同一比值改个名，却和"充放电流过的电荷"脱节，与孤立导体电容的定义、串并联公式也都对不上。（解答由AI补全）

（2）同轴圆柱形电容器

$L \gg (R_B - R_A)$ ⇒ 忽略边缘效应；内、外筒单位长度带电 $+\lambda$、$-\lambda$。则距轴线 $r$ 处

\[E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}\]

\[U_A - U_B = \int_{R_A}^{R_B} \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l} = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac{R_B}{R_A}\]

得

\[C = \frac{Q}{U_A - U_B} = \frac{\lambda L}{U_A - U_B} = \frac{2\pi\varepsilon_0 L}{\ln\left(R_B/R_A\right)}\]

【FA：E = λ/(2πε₀r) 为什么（高斯定理）】

2026.9.17"轴对称"一节已推：取半径 $r$、长 $h$ 的同轴圆柱高斯面，只有侧面有通量 $E\cdot 2\pi r h$，面包围电荷 $\lambda h$，故 $E\cdot 2\pi r h = \dfrac{\lambda h}{\varepsilon_0} \Rightarrow E = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$。用在电容器上：高斯面取在内、外筒之间（$R_A < r < R_B$），面包围的只有内筒电荷。（解答由AI补全）

【FA：为什么用电荷线密度 λ 不用面密度 σ】

内、外筒的面密度不相等：$\sigma_A = \dfrac{\lambda}{2\pi R_A}$，$\sigma_B = \dfrac{\lambda}{2\pi R_B}$——同一个系统里没有单一的"$\sigma$"可写；而 $\lambda$ 对两筒是同一个量。
柱对称下高斯面侧面积按 $r$ 增长（$2\pi r h$），与场配合后恰好把 $r$ 消掉的正是 $\lambda$：$\lambda$ 才是直接决定场的电荷量。三种对称各有自然记账单位——球对称用 $Q$、柱对称用 $\lambda$、平面对称用 $\sigma$，用错了公式写不出简洁形式。（解答由AI补全）

（3）球形电容器（同心球壳）

内、外球壳半径 $R_A$、$R_B$，分别带电 $+Q$、$-Q$，两壳之间

\[E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\qquad U_A - U_B = \int_{R_A}^{R_B} \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l}\]

得

\[C = \frac{Q}{U_A - U_B} = \frac{4\pi\varepsilon_0 R_A R_B}{R_B - R_A}\]

（$R_B \to \infty$ 时，$C = 4\pi\varepsilon_0 R_A$——退回孤立导体球。）

【FA：E = Q/(4πε₀r²) 为什么（高斯定理）】

球对称（2026.9.17"球对称"一节）：取半径 $r$ 的同心球面为高斯面，$E\cdot 4\pi r^2 = \dfrac{Q}{\varepsilon_0} \Rightarrow E = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$，方向沿半径向外。壳间积分即 $U_A - U_B = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{1}{R_A} - \dfrac{1}{R_B}\right)$，代回定义式得上面结果。（解答由AI补全）

3. 串联和并联¶

（1）串联（各电容电荷相同 $Q$，总电压为各分压之和）

\[\frac{1}{C} = \frac{U_A - U_B}{Q} = \frac{U_1}{Q} + \frac{U_2}{Q} + \cdots + \frac{U_n}{Q} = \frac{1}{C_1} + \cdots + \frac{1}{C_n}\]

若均为 $C_1$，则 $C = \dfrac{C_1}{n}$；更耐压（电压分摊到每个电容上）。

（2）并联（各电容电压相同，总电荷为各电荷之和）

\[C = \frac{Q}{U_A - U_B} = \frac{q_1 + q_2 + \cdots + q_n}{U_A - U_B} = C_1 + C_2 + \cdots + C_n\]

总电容变大。

例 1（FA：PPT 转文字）¶

【FA：例 1 插入金属片的平行板电容器（PPT 转文字）】

例（PPT 电容-例 1） 平板电容极板面积 $S$，间距 $d$（远小于极板线度），在两板间平行插入一面积 $S$、厚度 $t$ 的金属片，求该电容器的电容。

图：两极板间距 $d$，中间平行插入厚 $t$ 的金属片（剖面涂阴影），金属片与左、右极板的缝隙宽 $d_1$、$d_2$，极板面积标 $S$。

解（PPT） 插入金属片，相当于两个小尺寸电容的串联。设左右间距为 $d_1$、$d_2$（$d_1 + d_2 = d - t$）：

\[\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}\,, \qquad C_1 = \frac{\varepsilon_0 S}{d_1}\,, \quad C_2 = \frac{\varepsilon_0 S}{d_2}\]

\[\frac{1}{C} = \frac{d_1}{\varepsilon_0 S} + \frac{d_2}{\varepsilon_0 S} = \frac{d - t}{\varepsilon_0 S} \;\Rightarrow\; C = \frac{\varepsilon_0 S}{d - t}\]

即板间距为 $d - t$ 的电容。金属片内部 $\vec{E} = 0$，只把有效间距从 $d$ 压到 $d - t$——所以它插在哪里都一样（结果里没有 $d_1$、$d_2$ 的单独项）。PPT 转写；末句解说由AI补全。

10.3 电介质¶

1. 电介质（陶瓷）对电场的影响¶

电介质：绝缘体，但内部场强不为 0。插入平行板电容器，将削弱 $E$，使 $U_{AB}$ 减少，$C$ 变大。

【FA：削弱 E、U 变小、C 变大的解释】

介质在外场里被极化：分子偶极子顺场排列，介质表面出现束缚电荷。束缚电荷的场 $\vec{E}'$ 与原场 $\vec{E}_0$ 反向，合场 $E = E_0 - E' < E_0$（削弱）。极板电荷不变时 $U = Ed$ 随之变小，$C = q/U$ 就变大。定量结论即下一节的 $E = E_0/\varepsilon_r$：等效于把 $\varepsilon_0$ 换成 $\varepsilon = \varepsilon_0\varepsilon_r$，$C = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_r S}{d} = \varepsilon_r C_0$。（解答由AI补全）

2. 极化强度¶

\[\vec{P} = \frac{\sum \vec{p}_i}{\Delta V}\]

（介质中单位体积内电偶极矩矢量和。）

若介质内电场都均匀，则束缚电荷只出现在介质表面，内部极化影响相互抵消。

【FA：PPT"端面的束缚电荷密度与极化强度"——图 + 转文字 + 讲解（"完全不懂"处）】

PPT：均匀极化介质柱——端面束缚电荷与极化强度的关系，斜柱体积 ΔV=ΔSL·cosθ，推得 σ′=|P|cosθ=P·n̂

PPT 转写：均匀极化介质柱，$\vec{P}$、$\vec{E}$ 同方向，端面 $\Delta S$，体积 $\Delta V = \Delta S L\cos\theta$。若端面有束缚电荷，电偶极矩

\[q'\vec{L} = \sigma'\Delta S\cdot\vec{L}\]

即柱体内电偶极矩的矢量和

\[\sum \vec{p}_i = \sigma'\Delta S\cdot\vec{L}\]

极化强度

\[|\vec{P}| = \frac{\left|\sum \vec{p}_i\right|}{\Delta V} = \frac{\sigma'\Delta S L}{\Delta S L\cos\theta} = \frac{\sigma'}{\cos\theta}\]

\[\Rightarrow\quad \sigma' = |\vec{P}|\cos\theta = P_n = \vec{P}\cdot\hat{n}\]

端面束缚电荷面密度 = $\vec{P}$ 的法向分量；$0 < \theta < \pi/2$ 时，极化电荷为正。

讲解（说人话）：

图里柱子的轴线沿 $\vec{P}$（与 $\vec{E}$ 同向），两个端面是斜切面，端面法线 $\hat{n}$ 与轴成 $\theta$ 角。柱侧面的法线与 $\vec{P}$ 垂直，所以束缚电荷只出现在两个端面：一端 $+\sigma'$、一端 $-\sigma'$。
推导的思路是"换算法"：整根柱子里所有分子偶极矩加起来，等效于把两端面的束缚电荷 $\pm\sigma'\Delta S$ 看成相距 $\vec{L}$ 的一对点电荷，总偶极矩大小就是 $\sigma'\Delta S L$。
斜柱体积 $\Delta V = \Delta S\,L\cos\theta$（端面面积乘轴向长度在法线上的投影）。代回定义式得 $|\vec{P}| = \dfrac{\sigma'}{\cos\theta}$，反解出 $\sigma' = |\vec{P}|\cos\theta$。
$\cos\theta$ 恰是 $\vec{P}$ 在法线上的投影：表面某处"顶"出多少束缚电荷，只看 $\vec{P}$ 垂直于该表面的分量——面与 $\vec{P}$ 垂直（$\theta = 0$）时最多，面与 $\vec{P}$ 平行（$\theta = 90°$）时为零。这就是 10.4 推导里反复要用的 $\sigma' = P_n$。（PPT 转写；讲解由AI补全）

10.4 电介质中静电场的基本定理¶

1. 电介质中的场强¶

\[\vec{P} = \varepsilon_0 \chi_e \vec{E}\]

$\chi_e$：电极化率（无量纲；适用于各向同性介质、场强不太大的情形）。式中 $\vec{E}$ 为原电荷（自由电荷）和极化电荷的合场强。

电介质中的场强：

\[E = \frac{E_0}{\varepsilon_r} = \frac{E_0}{1 + \chi_e}\]

【FA：E = E₀/εᵣ 推导（课本图 10.19 + 轻文字）】

课本图10.19：电介质中的场强——平行板电容器极板自由电荷±σ₀，介质表面极化电荷∓σ′，介质内 E₀ 与 E′ 反向，合场为 E

课本 P73–74 推导：介质充满极板间，极板自由电荷面密度 $\pm\sigma_0$，介质表面极化电荷 $\mp\sigma'$，它们在两极板间分别产生均匀电场 $\vec{E}_0$ 和 $\vec{E}'$，介质内任一点的场强为两者的矢量和：

\[\vec{E} = \vec{E}_0 + \vec{E}'\]

因 $\vec{E}_0$ 与 $\vec{E}'$ 方向相反，合场强大小为

\[E = E_0 - E' = \frac{\sigma_0}{\varepsilon_0} - \frac{\sigma'}{\varepsilon_0}\]

本例中 $\vec{P}$ 与介质表面法线方向一致，因而 $\sigma' = P$；又 $P = \chi_e\varepsilon_0 E$（注意用的正是合场强 $E$——$\sigma'$ 与 $E$ 互相牵制，当方程解），于是

\[E = E_0 - \frac{P}{\varepsilon_0} = E_0 - \chi_e E \;\Rightarrow\; E = \frac{E_0}{1 + \chi_e}\]

定义

\[1 + \chi_e = \varepsilon_r \;\Rightarrow\; E = \frac{E_0}{\varepsilon_r}\]

由于极化电荷的场 $\vec{E}'$ 的存在，介质中场强比介质未引入时减弱了。需要指出：这一结论虽从"充满各向同性均匀电介质的平行板电容器"推出，但可推广——当介质充满电场所在的全部空间（或介质表面是等势面）时都成立。（据课本 P73–74 转写补全）

\[\sigma' = \sigma_0\left(1 - \frac{1}{\varepsilon_r}\right)\]

【FA：σ′ = σ₀(1 − 1/εᵣ) 推导与条件限定】

推导：把 $E = E_0/\varepsilon_r$（即 $E = \dfrac{\sigma_0}{\varepsilon_0\varepsilon_r}$，其中 $E_0 = \dfrac{\sigma_0}{\varepsilon_0}$）代回 $E = \dfrac{\sigma_0 - \sigma'}{\varepsilon_0}$：

\[\frac{\sigma_0}{\varepsilon_0\varepsilon_r} = \frac{\sigma_0 - \sigma'}{\varepsilon_0} \;\Rightarrow\; \sigma' = \sigma_0\left(1 - \frac{1}{\varepsilon_r}\right)\]

介质表面极化电荷面密度与极板自由电荷面密度之间存在固有数量关系。

条件限定：推导用了 $\sigma' = P$、$P = \chi_e\varepsilon_0 E$ 以及"介质充满各向同性均匀电介质（介质充满极板间 / 介质表面是等势面）"这一前提——部分填充时 $E \neq E_0/\varepsilon_r$，此式随之不成立；但对充满各向同性均匀电介质的其他电容器（球形、圆柱形等）也同样适用。（推导与条件说明由AI按课本补全）

2. 电位移矢量 D 和介质中的高斯定理¶

环路定理（介质不改变它——静电场仍有势）：

\[\oint \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l} = 0\]

高斯定理里出现了未知的极化电荷：

\[\oint_S \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = \frac{1}{\varepsilon_0}\left(\sum q_0 + \sum q'\right)\]

$q'$ 未知，想办法消去。利用（上一节端面关系 $\sigma' = P_n$）

\[\oint_S \vec{P}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = P_n \times S = \sigma' \Delta S\]

笔记原话：没招了，至此完全听不懂了……没记错的话这才第二周来着……

【FA：从"消去 q′"到电位移矢量 D（补全推导）】

第 1 步：把 $q'$ 用 $\vec{P}$ 表示。 极化电荷只出现在介质表面且 $\sigma' = \vec{P}\cdot\hat{n}$。对任意闭合面 $S$，面内净束缚电荷等于 $\vec{P}$ 通量的负值：

\[\sum q' = -\oint_S \vec{P}\cdot\mathrm{d}\vec{S}\]

平板情形检验：包围介质靠正极板那个表面（带 $-\sigma'$）取小扁盒，只有伸进介质的那个面有通量，$\oint \vec{P}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = P\Delta S = \sigma'\Delta S$（正是笔记里那条式子），而盒内束缚电荷 $q' = -\sigma'\Delta S$——恰好差一个负号 ✓。

第 2 步：代入高斯定理、移项合并。

\[\oint_S \varepsilon_0\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = \sum q_0 + \sum q' = \sum q_0 - \oint_S \vec{P}\cdot\mathrm{d}\vec{S} \;\Rightarrow\; \oint_S \left(\varepsilon_0\vec{E} + \vec{P}\right)\cdot\mathrm{d}\vec{S} = \sum q_0\]

括号里的组合对闭合面的通量只由自由电荷决定，起名叫电位移矢量：

\[\vec{D} = \varepsilon_0\vec{E} + \vec{P} \qquad\Rightarrow\qquad \oint_S \vec{D}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = \sum q_0 \quad (\text{只数自由电荷！})\]

第 3 步：各向同性线性介质中 D 与 E 的关系。 代入 $\vec{P} = \varepsilon_0\chi_e\vec{E}$：

\[\vec{D} = \varepsilon_0(1 + \chi_e)\vec{E} = \varepsilon_0\varepsilon_r\vec{E} = \varepsilon\vec{E}\]

为什么这是好办法：$\vec{D}$ 的高斯定理里没有 $q'$——对称问题（球、柱、板）里已知自由电荷就能先解出 $\vec{D}$，再除以 $\varepsilon_0\varepsilon_r$ 得 $\vec{E}$，全程不必碰未知的极化电荷。（推导由AI补全）

介质对电容器的作用（没记全，FA 补全见下）。

【FA：介质对电容器的作用（补全没记下的几条）】

增大电容：$C = \varepsilon_r C_0$，同样尺寸电容翻 $\varepsilon_r$ 倍（$C = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_r S}{d}$）。
提高耐压：介质的击穿场强比空气高得多，同样厚度能承受更高电压而不被击穿（笔记这句原文写"增大内压"，应为"增大耐压"）。
缩小体积：要同样的 $C$，用大 $\varepsilon_r$ 的介质可把器件做小。
兼作固定支撑：工程上介质还用来固定极板间距、防振动。（由AI补全）

攻略：已知自由电荷，通常先求电位移矢量 $\vec{D}$！（对称问题：高斯定理求 $\vec{D}$ → $\vec{E} = \vec{D}/(\varepsilon_0\varepsilon_r)$ → 需要时再反推 $\sigma'$。）

2026.9.29（10.6 静电场的能量）¶

一、点电荷系统的静电能¶

两个点电荷时，装配所做之功 $A = q_1 U_1 = q_2 U_2$（推导见课本 P81）$= \dfrac{1}{2}q_1 U_1 + \dfrac{1}{2}q_2 U_2$。推广到 $n$ 个点电荷（$U_i$ 为第 $i$ 个电荷所在位置处、其他电荷产生的电势）：

\[W = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n} q_i U_i = \frac{1}{2}\int_V U \rho\,\mathrm{d}V = \frac{1}{2}\oint_S U \sigma\,\mathrm{d}S\]

（连续分布时：体分布用 $\rho$、面分布用 $\sigma$。）

二、电容器（储能）¶

单个导体：$W = \dfrac{1}{2}\int u\,\mathrm{d}q = \dfrac{1}{2}Qu$；
电容器：$A = \int_0^Q \dfrac{q}{C}\,\mathrm{d}q = \dfrac{1}{2}\dfrac{Q^2}{C} = \dfrac{1}{2}Q(U_A - U_B)$。

三、电场能量与能量密度¶

平行板情形代入 $\Delta U = Ed$、$C = \dfrac{\varepsilon S}{d}$：

\[W = \frac{1}{2}\varepsilon E^2 S d = \frac{1}{2}\varepsilon E^2 V\]

单位体积的能量

\[w_e = \frac{W}{V} = \frac{1}{2}\varepsilon E^2 = \frac{1}{2}DE\]

称为电场能量密度（电能密度），普遍形式实为 $\dfrac{1}{2}\vec{E}\cdot\vec{D}$。非均匀场：

\[W = \int_V \frac{1}{2}\varepsilon E^2\,\mathrm{d}V\]

例题：均匀带电介质球的静电能（FA：不懂）¶

半径 $R$ 的均匀带电介质球，介电常数 $\varepsilon$，电荷体密度 $\rho$，求静电能。

1° 场强法。 由高斯定理 $\oint_S \vec{D}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = Q = D \cdot 4\pi r^2 = \dfrac{4\pi}{3}r^3\rho$，再由 $\vec{D} = \varepsilon\vec{E}$ 得

\[\vec{E}_1 = \frac{\rho r}{3\varepsilon}\hat{r} \quad (r \le R), \qquad \vec{E}_2 = \frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0 r^2}\hat{r} \quad (r \ge R)\]

\[W = \int_V \frac{1}{2}\varepsilon E^2\,\mathrm{d}V \quad (\text{球内、球外分开积分，FA})\]

2° 电势法。 $U_{\text{内}} = \int_r^R E_1\,\mathrm{d}r + \int_R^{+\infty} E_2\,\mathrm{d}r$，$W = \dfrac{1}{2}\int u\,\mathrm{d}q$：

\[U_{\text{内}} = \int_r^R \frac{\rho r}{3\varepsilon}\,\mathrm{d}r + \int_R^{+\infty} \frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0 r^2}\,\mathrm{d}r = \frac{\rho}{6\varepsilon}\left(R^2 - r^2\right) + \frac{\rho R^2}{3\varepsilon_0}, \qquad r \le R\]

取 $\varepsilon_r = 1$（即球内也按真空处理，$\varepsilon = \varepsilon_0$），则 $U_{\text{内}} = \dfrac{\rho}{6\varepsilon_0}\left(3R^2 - r^2\right)$，

\[W = \frac{1}{2}\int u\,\mathrm{d}q = \frac{1}{2}\int_0^R \frac{\rho}{6\varepsilon_0}\left(3R^2 - r^2\right) \rho\, 4\pi r^2\,\mathrm{d}r\]

【FA：例题算到底 + 两种方法对照】

场强法算到底（$\varepsilon_r = 1$，$Q = \dfrac{4}{3}\pi R^3\rho$）：

\[W_{\text{内}} = \int_0^R \frac{1}{2}\varepsilon_0 E_1^2 \cdot 4\pi r^2\,\mathrm{d}r = \int_0^R \frac{1}{2}\varepsilon_0 \left(\frac{\rho r}{3\varepsilon_0}\right)^2 4\pi r^2\,\mathrm{d}r = \frac{2\pi\rho^2 R^5}{45\varepsilon_0}\]

\[W_{\text{外}} = \int_R^{+\infty} \frac{1}{2}\varepsilon_0 \left(\frac{\rho R^3}{3\varepsilon_0 r^2}\right)^2 4\pi r^2\,\mathrm{d}r = \frac{2\pi\rho^2 R^5}{9\varepsilon_0}\]

\[W = W_{\text{内}} + W_{\text{外}} = \frac{4\pi\rho^2 R^5}{15\varepsilon_0} = \frac{3Q^2}{20\pi\varepsilon_0 R} = \frac{3}{5}\cdot\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{Q^2}{R}\]

电势法算到底：$W = \dfrac{1}{2}\int_0^R \rho \cdot \dfrac{\rho(3R^2 - r^2)}{6\varepsilon_0} \cdot 4\pi r^2\,\mathrm{d}r = \dfrac{\pi\rho^2}{3\varepsilon_0}\cdot\dfrac{4R^5}{5} = \dfrac{4\pi\rho^2 R^5}{15\varepsilon_0}$，与场强法一致 ✓。

（推导由AI补全）

与课本例 10-6 对比：体分布比面分布的静电能略大。（【见课本例 10-6】）

Q1：若 $R = 0$（点电荷），能量发散？定义 $k\dfrac{e^2}{r_e} = mc^2$ 得电子经典半径 $r_e = ?$（FA）

【FA：电子的经典半径】

把电子看成半径 $R$ 的带电球，场能 $\sim k e^2/R$，$R \to 0$ 时发散——"点电荷 + 场能"的经典图像自相矛盾。令 $k e^2 / r_e = m_e c^2$：

\[r_e = \frac{k e^2}{m_e c^2} = \frac{(8.99\times10^9)\times(1.60\times10^{-19})^2}{(9.11\times10^{-31})\times(3.00\times10^8)^2} \approx 2.8\times10^{-15}\ \text{m}\]

即经典电子半径约 2.8 fm（飞米）。它只是经典电磁理论拼出来的一个长度量级，并不代表电子真的这么大。（解答由AI补全）

Q2：$\displaystyle\int_V \frac{1}{2}\varepsilon E^2\,\mathrm{d}V$ 恒正，而 $\sum q_i U_i$ 可正可负——相互作用能 $\ne$ 总能量（FA）

【FA：为什么场能积分恒正、互能却可负】

$\int \dfrac{1}{2}\varepsilon E^2\,\mathrm{d}V$ 是能量密度对全空间积分，被积函数非负，所以总能量恒正。而 $\sum q_i U_i$ 里 $q_i$ 带正负号：异号电荷之间的贡献是负的，所以它（单独作为相互作用能时）可正可负。两者不是同一个量：总能量 $=$ 各带电体的自能（恒正）$+$ 相互作用能（可正可负），负的互能最多把总能量往下拉，拉不到负值。（FA 补充）

总能量 $=$ $\sum$ 自能 $+$ 相互作用能（FA：举例——内导体球 $+$ 外接地地球壳）：自能（恒正）$+$ 相互作用能（可正可负）

【FA：自能与互能——"内导体球 + 接地外壳"的例子】

自能：把单个带电体自身的电荷从无穷远聚拢起来所需做的功，同性相斥、始终要做正功，恒为正。
相互作用能：带电体彼此之间的那部分能量，符号由对方电荷的正负决定，可正可负。
例子：带正电的内导体球放进接地的导体球壳（想象地球作外壳）内——壳内壁感应出等量负电荷，内球电荷与感应电荷之间的相互作用能为负；但两个带电体各自的自能都是正的，而总能量（全空间 $\int \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2\,\mathrm{d}V$）依然恒正。这正是"自能（正）$+$ 互能（可正可负）$=$ 总能量"的具体呈现。（FA 补充）

2026.10.8（第 11 章稳恒电流）¶

11.1 稳恒电流¶

电流强度 $I = \dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$，单位库仑（C）。

电流密度矢量 $\vec{j} = \dfrac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}S_\perp}$，则 $I = \displaystyle\int_S \vec{j}\cdot\mathrm{d}\vec{S}$。

产生稳恒传导电流需要：1. 自由电荷；2. 电场。

外电场作用下，载流子定向漂移，漂移速度 $v_d$（$\neq$ 实际速度）。$\Delta t$ 内通过 $\Delta S$ 的电量为 $\Delta q = e\cdot n\cdot v_d\cdot\Delta t\cdot\Delta S$，则

\[I = \frac{\Delta q}{\Delta t} = ne\Delta S v_d \;\Rightarrow\; j = \frac{I}{\Delta S} = nev_d \;\Rightarrow\; \vec{j} = -ne\vec{v}_d \;\Rightarrow\; v_d = 2.8\times10^{-5}\,\mathrm{m/s}\]

而热运动速率 $\sim 10^6\,\mathrm{m/s}$。

拓展：金属导电的 Drude 模型（FA）

加定压，电子加速，$\vec{a} = -\dfrac{e}{m}\vec{E}$ 为常量，$I$ 应随 $t$ 变大——但不对。实际：电子不断与原子实不规则碰撞，同时有漂移（定向）$\Rightarrow$ 电流。

自由飞行时间 $=$ 平均自由程 $/$ 热运动速率：$\tau = \dfrac{\lambda}{v_T}$。

则平均速度 $v_d \approx \dfrac{1}{2}a\tau = -\dfrac{eE}{2m}\tau$：

\[\vec{j} = -en\vec{v}_d = \sigma\vec{E}, \qquad \sigma = \frac{ne^2\lambda}{2mv_T} \propto \frac{1}{v_T} \propto \frac{1}{\sqrt{T}}\]

$\therefore$ 随 $T\uparrow$，电导 $\downarrow$、金属 $R\uparrow$，定性符合实验。

【FA：Drude 模型——½ 因子从哪来、局限在哪】

½ 因子：每次碰撞后电子的定向速度"清零"、重新加速，两次碰撞的自由飞行时间长短不一，平均为 $\tau$。对一次飞行，定向速度从 $0$ 线性涨到 $at$，对所有飞行取平均就是 $\langle v\rangle = \tfrac{1}{2}a\tau$——匀加速从零出发的平均，不是额外假设。
局限：经典模型给出 $\sigma\propto T^{-1/2}$（热速率 $\propto\sqrt{T}$），而实验是 $\sigma\propto T^{-1}$。量子理论（索末菲模型）换成费米–狄拉克统计后，参与导电的只是费米面附近一小部分电子，$\sigma = ne^2\tau/m$ 形式不变，但 $\tau$ 由量子散射决定，从而给出正确的温度依赖。（FA 补充）

11.2 欧姆定律¶

$U_1 - U_2 = IR$；若 $\vec{E}$ 恒定，则 $U_1 - U_2 = E\Delta l$。

由 $R = \dfrac{\rho\Delta l}{\Delta S}$、$I = j\Delta S$ 得

\[\vec{j} = \frac{\vec{E}}{\rho} \quad (\text{微元欧姆定律}) = \sigma\vec{E}\]

电导率 $\sigma = \dfrac{1}{\rho}$（S/m，西门子/米）。

焦耳定律：电子与原子实碰撞会引起焦耳热。

\[P = I^2 R \;\Rightarrow\; \text{功率密度 } w = \frac{\Delta P}{\Delta V} = \sigma E^2 \qquad (\text{ydd 大概率考，新内容！})\]

温度极低（4 K）时金属、合金电阻降到零 $\Rightarrow$ 超导。高温超导：液氮（77 K）、YBaCuO；铁基材料（FA）；室温超导（FA）。

【FA：铁基超导体】

继铜氧化物之后的第二个高温超导家族。2008 年日本的细野秀雄组首先发现 LaFeAsO$_{1-x}$F$_x$（$T_c\approx 26$ K），换稀土元素后 $T_c$ 很快提到 50 K 以上；中国团队（陈仙辉、赵忠贤等）做出关键贡献，"铁基超导体"获 2013 年国家自然科学一等奖。导电主角是层状结构中的 FeAs 面，角色类似铜氧化物的 CuO$_2$ 面，多数带、各向异性更小，是研究高温超导机理的重要参照。（FA 补充）

【FA：室温超导】

指常压（或接近常压）、室温下出现零电阻，是凝聚态物理的"圣杯"。截至整理时（2026-10）尚无获公认的材料：富氢化合物（H$_3$S 约 203 K、LaH$_{10}$ 约 250 K）确实近室温超导，但要一百多万个大气压，离实用很远；2023 年 Dias 组宣称的常压近室温超导（Lu-N-H）因数据问题被撤稿；同年的 LK-99 热潮被大量重复实验证伪（实为抗磁，非超导）。常压室温超导仍待新机理、新材料突破。（FA 补充）

稳恒电流与稳恒电场¶

电流连续性方程：$\oint_S \vec{j}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = -\dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$；电流稳恒时 $\dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} = 0$，即 $\oint_S \vec{j}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = 0$

\[\Rightarrow\; \nabla\cdot\vec{j} = 0 \quad (\text{散度为零})\]

稳恒电流下导体内部电场 $\neq 0$：

\[\oint_S \vec{j}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = \sigma\oint_S \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = 0 \;\Rightarrow\; \text{均匀载流导体内部无净电荷}\]

电荷只能分布在导体表面，电场线（电流线）必与表面平行。

11.3 电动势¶

充电（非静电力移动电荷 $q$ 做功）：$A_k = q\displaystyle\int_L \vec{E}_k\cdot\mathrm{d}\vec{l}$，$\vec{E}_k$：非静电场强（化学/磁场/…）。

电动势：

\[\varepsilon = \frac{A_k}{q} = \int_L \vec{E}_k\cdot\mathrm{d}\vec{l} = \int_{-(\text{内})}^{+} \vec{E}_k\cdot\mathrm{d}\vec{l}\]

11.4 基尔霍夫定律¶

（ydd 会考！）

11.5 电容器的充放电¶

\[\varepsilon - U - IR = 0\]

【FA：分离变量法解 RC 充放电（复习常微分方程）】

充电（开关合上，电源 $\varepsilon$ 经 $R$ 给 $C$ 充电）：回路方程 $\varepsilon - u - iR = 0$，其中 $i = \dfrac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} = C\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}$，故

\[RC\,\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} = \varepsilon - u \;\Rightarrow\; \frac{\mathrm{d}u}{\varepsilon - u} = \frac{\mathrm{d}t}{RC}\]

变量分列两边，积分：$-\ln(\varepsilon - u) = \dfrac{t}{RC} + C_1$。由 $u(0) = 0$ 定出常数，得

\[u = \varepsilon\left(1 - \mathrm{e}^{-t/RC}\right), \qquad i = C\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} = \frac{\varepsilon}{R}\,\mathrm{e}^{-t/RC}\]

放电（去掉电源、电容经 $R$ 短接）：$RC\,\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} = -u$，分离变量 $\dfrac{\mathrm{d}u}{u} = -\dfrac{\mathrm{d}t}{RC}$，积分得

\[u = U_0\,\mathrm{e}^{-t/RC}\]

时间常数 $\tau = RC$：$t = \tau$ 时充电到 $1 - \mathrm{e}^{-1}\approx 63\%$（放电衰减到 $\mathrm{e}^{-1}\approx 37\%$）。（推导由AI补全）

例题：PPT 综合题——接地导体球壳与同心内球（第 10 章复习）¶

一接地导体球壳 A，其内、外半径为 $R_A$ 和 $R$，内有一半径 $R_B$ 的同心导体球 B，带电荷 $q$，已知 $R_A = 2R_B$，$R = 3R_B$。今在距球心 O 为 $d = 4R_B$ 处放一点电荷 $Q$。求：(1) 球壳 A 带的总电荷；(2) 若用导线将 A、B 相连，球壳 A 的带电量是多少？

解 (1)：B 带 $q$，在 A 内表面感应出 $-q$；设外表面带电 $Q'$。O 点电势为各处电荷贡献之和：

\[U_O = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R_B} + \frac{-q}{4\pi\varepsilon_0 R_A} + \frac{Q'}{4\pi\varepsilon_0 R} + \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 d}\]

球壳 A 接地，其电势为零；由电势定义（沿 B 到壳内表面之间的场积分，这段只有 $q$ 产生的场）：

\[U_O = \int_{R_B}^{R_A} \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,\mathrm{d}r = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{R_B} - \frac{1}{R_A}\right)\]

联立（两式前两项相同，消去）得

\[\frac{Q'}{R} + \frac{Q}{d} = 0 \;\Rightarrow\; Q' = -\frac{R}{d}Q = -\frac{3}{4}Q\]

A 的总电荷：

\[Q_1 = -q + Q' = -q - \frac{3}{4}Q\]

解 (2)（解答由AI补全）：A、B 用导线相连后成为同一个导体：腔内不再有孤立电荷，内表面电荷随之消失（腔内 $E = 0$），全部净电荷分布到壳外表面。系统总电荷守恒：

\[Q_{\text{总}} = \left(-q - \frac{3}{4}Q\right) + q = -\frac{3}{4}Q\]

故此时球壳 A 的带电量为 $-\dfrac{3}{4}Q$（全在外表面），B 不再带电。

例题：PPT 例 2——漏电的平板电容¶

极板面积 $S$，介质厚度 $d_1$ 和 $d_2$，介电常数 $\varepsilon_1$ 和 $\varepsilon_2$，板间电压 $U$。若介质漏电，电导率 $\sigma_1$ 和 $\sigma_2$。求：1）损耗功率；2）介质交界面的自由电荷。

PPT 例 2：漏电的平板电容——解法 1，两层介质中 D、E 与电流连续，联立求 E1、E2（右侧附"等效电路？2 组坏电容/电阻的串联"的课堂批注）

解法 1（场量法）：稳恒电流下电流密度连续：

\[j_1 = \sigma_1 E_1 = j_2 = \sigma_2 E_2, \qquad E_1 d_1 + E_2 d_2 = U\]

联立解得

\[E_1 = \frac{U\sigma_2}{d_1\sigma_2 + d_2\sigma_1}, \qquad E_2 = \frac{U\sigma_1}{d_1\sigma_2 + d_2\sigma_1}\]

电阻为

\[R_1 = \frac{d_1}{\sigma_1 S},\quad R_2 = \frac{d_2}{\sigma_2 S},\quad R = R_1 + R_2 = \frac{d_1\sigma_2 + d_2\sigma_1}{S\sigma_1\sigma_2}\]

损耗功率

\[P = I^2 R = \frac{\sigma_1\sigma_2 U^2 S}{d_1\sigma_2 + d_2\sigma_1}\]

PPT 例 2（续）：电阻、损耗功率与交界面自由电荷 Qf 的计算（漏电介质导致电荷积累，故与静电场不同）

2）介质交界面的自由电荷：由 $\oint_S \vec{D}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = \sum q_0$（作包住交界面的扁高斯面）：

\[Q_f = D_2 S - D_1 S = (\varepsilon_2 E_2 - \varepsilon_1 E_1)S = \frac{\varepsilon_2\sigma_1 - \varepsilon_1\sigma_2}{d_1\sigma_2 + d_2\sigma_1}\,US\]

界面条件即 $\hat{n}\cdot(\vec{D}_2 - \vec{D}_1) = \sigma_f$。漏电介质导致电荷积累，故与静电场不同。

PPT 例 2：解法 2——等效电路法，按分压公式求 Q1、Q2，得 Q2−Q1 与解法 1 一致

解法 2（等效电路法）：电阻同上，损耗功率 $P = \dfrac{U^2}{R} = \dfrac{\sigma_1\sigma_2 U^2 S}{d_1\sigma_2 + d_2\sigma_1}$。电容

\[C_1 = \frac{\varepsilon_1 S}{d_1}, \qquad C_2 = \frac{\varepsilon_2 S}{d_2}\]

可按分压公式计算（$U_1 = \dfrac{R_1}{R_1 + R_2}U$，$U_2 = \dfrac{R_2}{R_1 + R_2}U$）：

\[Q_1 = C_1 U_1 = \frac{\varepsilon_1 S}{d_1}\cdot\frac{R_1 U}{R_1 + R_2} = \frac{\varepsilon_1\sigma_2 S U}{d_1\sigma_2 + d_2\sigma_1}, \qquad Q_2 = C_2 U_2 = \frac{\varepsilon_2 S}{d_2}\cdot\frac{R_2 U}{R_1 + R_2} = \frac{\varepsilon_2\sigma_1 S U}{d_1\sigma_2 + d_2\sigma_1}\]

\[\Rightarrow\; Q_2 - Q_1 = \frac{\varepsilon_2\sigma_1 - \varepsilon_1\sigma_2}{d_1\sigma_2 + d_2\sigma_1}\,US\]

与解法 1 一致 ✓。

2026.10.13（12.1 磁场 · 12.2 毕奥-萨伐尔定律）¶

12.1 磁场¶

磁性来源于电荷的运动。

现代磁学起点：奥斯特，磁针偏转。

毕奥-萨伐尔发现（图：竖直导线旁水平放置的小磁针）这样放小磁针不偏转。

安培放两平行导线，电流同向相吸，异向相斥。

实验：$q$ 所受磁力方向与 $v$ 垂直，也与 $B$ 垂直，则

\[B = \frac{F_{max}}{qv}, \qquad \vec{F} = q\vec{v}\times\vec{B}\]

特斯拉 $\mathrm{T} = 1\,\mathrm{N/(A\cdot m)}$，$1\,\mathrm{G}$（高斯）$= 10^{-4}\,\mathrm{T}$。

右手四指指向 $\vec{F}_m$，沿小角度转向 $\vec{v}$，大拇指指向 $\vec{B}$。

电场 + 磁场：

\[\vec{F} = q\vec{E} + q\vec{v}\times\vec{B}\]

右手螺旋定则：拇指指 $I$，则四指为 $B$ 方向。

12.2 毕奥-萨伐尔定律（拉普拉斯推出数学表达式）¶

1、缩小的电流元激发磁场在 P 点：

\[\mathrm{d}B = \frac{\mu_0}{4\pi}\cdot\frac{I\,\mathrm{d}l\sin\theta}{r^2}\]

$\mathrm{d}l$：沿电流方向，$\sin\theta$：$\mathrm{d}l$ 与 $\vec{OP}$ 的夹角。$\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{N/A^2}$（真空磁导率）。

$B$ 的方向：右手定则，四指指 $I$（$\mathrm{d}l$）经小角度转向 $\vec{r}$（$\vec{BP}/\vec{OP}$），大拇指为 $\vec{B}$。得

\[\mathrm{d}\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\,\mathrm{d}\vec{l}\times\hat{r}}{r^2} \qquad (\mathrm{d}\vec{l}\times\hat{r}\text{，即右手四指由 }\mathrm{d}\vec{l}\text{ 转向 }\hat{r})\]

积分得

\[\vec{B} = \int \mathrm{d}\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{I\,\mathrm{d}\vec{l}\times\hat{r}}{r^2}\]

通常 先投影再积分！ $\mathrm{d}\vec{B} = \mathrm{d}B_x\hat{x} + \mathrm{d}B_y\hat{y} + \mathrm{d}B_z\hat{z}$

应用：

① 长直导线的磁场，求距离 $a$ 的 P 点 $\vec{B}$：

\[\mathrm{d}B = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\,\mathrm{d}l\sin\theta}{r^2} \qquad \text{（先判断完 } B \text{ 方向，均朝里，则标量积分即可）}\]

以 $\theta$ 为变量，得

\[B = \frac{\mu_0 I}{4\pi a}\int_{\theta_1}^{\theta_2}\sin\theta\,\mathrm{d}\theta = \frac{\mu_0 I}{4\pi a}\left(\cos\theta_1 - \cos\theta_2\right)\]

$\theta$ 为 $\mathrm{d}l$ 与 $\vec{r}$ 的夹角。

长直导线（$L \gg a$）：$\theta_1 = 0$、$\theta_2 = \pi$，得 $B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi a}$；半无限长：$\theta_1 = \dfrac{\pi}{2}$、$\theta_2 = \pi$；延长线上：$B = 0$。

② 载流圆线圈，$R$、$I$，轴线上 P 点，距离 $x$。

先取 $\mathrm{d}l$，求 $\mathrm{d}B$ 分解，垂直轴向 $\mathrm{d}B_\perp$ 抵消，仅剩 $\mathrm{d}B_\parallel = \mathrm{d}B\cos\theta$，$\cos\theta = \dfrac{R}{\sqrt{R^2 + x^2}}$：

\[\Rightarrow B = \int \mathrm{d}B_\parallel = \frac{\mu_0 I R^2}{2\left(R^2 + x^2\right)^{3/2}}\]

1° 圆心（$x = 0$）：$B(0) = \dfrac{\mu_0 I}{2R}$，$N$ 匝：$B = \dfrac{\mu_0 N I}{R}$

2° $x \gg R$：上式 ≈ $\dfrac{\mu_0 I R^2}{2x^3} = \dfrac{\mu_0 I S}{2\pi x^3}$（$S = \pi R^2$）

磁矩 $\vec{P}_m = N\cdot I\cdot S\cdot\hat{e}_n$（$N$ 匝），与 $\vec{B}$ 方向相同（也叫磁偶极矩），则上式 $= \dfrac{\mu_0}{2\pi}\dfrac{\vec{P}_m}{x^3}$（与电偶极子延长线上电场比较：$\vec{E} = \dfrac{\vec{p}_e}{2\pi\varepsilon_0 x^3}$）

③ 直螺线管，$R$、每单位长度 $n$ 匝，求轴线上 P 点。

取 $\mathrm{d}l$，有 $n\,\mathrm{d}l$ 匝，相当于 $In\,\mathrm{d}l$ 的圆电流，则

\[\mathrm{d}B = \frac{\mu_0}{2}\cdot\frac{R^2 I n\,\mathrm{d}l}{\left(R^2 + l^2\right)^{3/2}}\]

引入 $\beta$：原点到～的夹角（P 点对环元的张角）。方向相同直接积分标量：

\[B = -\frac{\mu_0 n I}{2}\int_{\beta_1}^{\beta_2}\sin\beta\,\mathrm{d}\beta = \frac{\mu_0 n I}{2}\left(\cos\beta_2 - \cos\beta_1\right)\]

1° 无限长：$\beta_1 \to \pi$、$\beta_2 \to 0$，$B = \mu_0 n I$，均匀；

2° 半无限长端点：$\beta_1 = \dfrac{\pi}{2}$、$\beta_2 \to 0$（或 $\pi$），则 $B = \dfrac{1}{2}\mu_0 n I$。

④ 无限长均匀薄铜片，宽度 $a$，$I$，求轴线上方距离 $y$ 的 P 点。

视为无限多条宽度 $\mathrm{d}x$ 的直导线，$\mathrm{d}I = \dfrac{I\,\mathrm{d}x}{a}$：

\[\mathrm{d}B = \frac{\mu_0\,\mathrm{d}I}{2\pi r}, \qquad \mathrm{d}B_y \text{ 抵消，积分 } \int \mathrm{d}B_x\]

\[\Rightarrow B = \frac{\mu_0 I}{\pi a}\arctan\frac{a}{2y} \qquad \left(\text{若 } y \gg a:\; B = \frac{\mu_0 I}{\pi a}\cdot\frac{a}{2y} = \frac{\mu_0 I}{2\pi y}\text{，此时可视为长直导线}\right)\]

2026.10.15（磁场的高斯定理 · 安培环路定理）¶

复习：小磁针，磁场方向为 N 极。$\vec{F} = q\vec{E} + q\vec{v}\times\vec{B}$

e.g. （图：均匀带电塑料圆环面，内半径 $R_1$、外半径 $R_2$，以 $\omega$ 绕过中心垂直盘面的轴旋转）电荷 $q$，求中心 O 的 $B$。

视为带电圆环叠加：半径 $r$、宽 $\mathrm{d}r$ 的细环，$\mathrm{d}q = \sigma\cdot 2\pi r\,\mathrm{d}r$（FA，补全）。细环随盘旋转形成电流 $\mathrm{d}I = \mathrm{d}q\cdot\dfrac{\omega}{2\pi} = \sigma\omega r\,\mathrm{d}r$，在圆心处

\[\mathrm{d}B = \frac{\mu_0\,\mathrm{d}I}{2r} = \frac{\mu_0\sigma\omega}{2}\,\mathrm{d}r \;\Rightarrow\; B = \int_{R_1}^{R_2} \frac{\mu_0\sigma\omega}{2}\,\mathrm{d}r = \frac{\mu_0\sigma\omega(R_2 - R_1)}{2}\]

其中 $\sigma = \dfrac{q}{\pi(R_2^2 - R_1^2)}$。（解答由AI补全）

e.g. $R$、$Q$ 薄球壳，$\omega$ 绕直径旋转，求球心 $B$ 及磁矩。

图：球，极角 $\theta$，转轴 $x$。先求 $\theta \to \theta + \mathrm{d}\theta$ 的细环电流（FA）：

\[\mathrm{d}I = 2\pi R\sin\theta\cdot R\,\mathrm{d}\theta\cdot\frac{Q}{4\pi R^2}\cdot\frac{\omega}{2\pi}\]

再套公式 $B = \dfrac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$：细环半径 $r = R\sin\theta$、到球心距离 $x = R\cos\theta$，$R^2 + r^2 = R^2$，故（FA）

\[\mathrm{d}B = \frac{\mu_0 Q\omega\sin^3\theta\,\mathrm{d}\theta}{8\pi R} \;\Rightarrow\; B = \int_0^{\pi} \mathrm{d}B = \frac{\mu_0 Q\omega}{6\pi R} \qquad \left(\int_0^{\pi}\sin^3\theta\,\mathrm{d}\theta = \frac{4}{3}\right)\]

磁矩 $\vec{P}_m = I S\hat{n}$（$\hat{n}$ 与 $\vec{B}$ 方向相同），则

\[\mathrm{d}P_m = \mathrm{d}I\cdot\pi r^2 = \pi\sigma\omega R^4\sin^3\theta\,\mathrm{d}\theta \;\Rightarrow\; P_m = \int \mathrm{d}P_m = \frac{1}{3}QR^2\omega\]

【FA：两道旋转带电体例题的 FA 步骤解释】

塑料圆环（FA，补全）：细环的"转速化电流"——电荷每转一圈过一次截面，$\mathrm{d}I = \dfrac{\mathrm{d}q}{T} = \mathrm{d}q\cdot\dfrac{\omega}{2\pi}$；细环在圆心处的场直接用载流圆线圈圆心公式 $B = \dfrac{\mu_0 I}{2r}$。
旋转薄球壳（FA）：$\theta \to \theta + \mathrm{d}\theta$ 环带的面积为 $2\pi R\sin\theta\cdot R\,\mathrm{d}\theta$（半径 $R\sin\theta$ 的圆周长 × 母线宽 $R\,\mathrm{d}\theta$），乘面电荷密度 $\sigma = \dfrac{Q}{4\pi R^2}$ 得 $\mathrm{d}q$，再乘 $\dfrac{\omega}{2\pi}$ 得 $\mathrm{d}I$；代入轴线圆电流公式时 $R^2 + x^2 = R^2\sin^2\theta + R^2\cos^2\theta = R^2$ 恰好化简，留下 $\sin^3\theta$。$\displaystyle\int_0^\pi \sin^3\theta\,\mathrm{d}\theta = \int_0^\pi (1-\cos^2\theta)\sin\theta\,\mathrm{d}\theta = \left[-\cos\theta + \frac{\cos^3\theta}{3}\right]_0^\pi = \frac{4}{3}$。（FA 补充）

新课：讨论磁场的通量和环流。

1、磁通量 $\mathrm{d}\Phi_m = \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{S}$，通量 $\Phi_m = \displaystyle\int_S \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{S}$，$\mathrm{T\cdot m^2} = \mathrm{Wb}$（韦伯）

2、磁场的高斯定理：

\[\oint_S \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = 0 \qquad \text{（通过任何闭合曲面的磁通量恒为 0）}\]

3、安培环路定理

(1) 闭合回路包含"无限长"直导线：

图：闭合回路 $L$ 围绕导线，导线处标 $r$、$\mathrm{d}\varphi$、$\mathrm{d}l$。

\[\vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{l} = B\cos\varphi\,\mathrm{d}l \approx Br\,\mathrm{d}\varphi = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}\,r\,\mathrm{d}\varphi = \frac{\mu_0 I}{2\pi}\mathrm{d}\varphi\]

\[\Rightarrow \oint_L \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{l} = \frac{\mu_0 I}{2\pi}\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\varphi = \mu_0 I\]

∴（与回路形状）任意回路都无关。反方向/电流反向 $\Rightarrow \mu_0(-I)$。右手关系为正，反手为负。

(2) 载流导线在闭合回路 L 之外：$\oint \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{l} = 0$（FA，推导）

(3) 多导线：

\[\oint \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{l} = \mu_0\sum_{i=1}^{m} I_i \qquad \text{只与 L 内的净电流有关}\]

(4) L 不垂直于导线，分解到垂直，平行的没用。

\[\Rightarrow\; \text{安培环路定理：}\oint_L \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{l} = \mu_0\sum I_{内}\]

应用：

(1) 无限长圆柱体，$R$，$I$ 沿轴向。

1° 圆柱外：$\displaystyle\oint \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{l} = B\cdot 2\pi r = \mu_0 I$（FA）

\[\Rightarrow B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}\]

2° 圆柱内：$\displaystyle\oint_L \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{l} \Rightarrow B\cdot 2\pi r = \mu_0\cdot\frac{Ir^2}{R^2}$

电流 $\sum I_i = j\cdot S = \dfrac{I}{\pi R^2}\cdot\pi r^2 = \dfrac{Ir^2}{R^2}$（FA）

\[\Rightarrow B = \frac{\mu_0 I}{2\pi R^2}\,r\]

图：$B$–$r$ 曲线，$r$ 从 0 线性升至 $B_m$（$r = R$ 处）后按 $1/r$ 下降；若为圆柱面（电流只在表面），则内部 $B = 0$、表面跳到 $B_m$ 后按 $1/r$ 下降。

(2) 长直螺线管：既没有径向分量，也没有环向分量（FA），∴ 只有轴向分量，推导见课本吧。

\[B = \mu_0 n I \quad \text{（FA）}\]

(3) 托卡马克：内 $B = \mu_0 n I$；外 $B = 0$（FA）

(4) 无限大载流导体薄板（用线密度 $\delta$）（FA）

【FA：安培环路定理应用中的 FA 补全】

导线在回路外环流为零（FA，推导）：沿用上法 $\vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{l} = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi}\mathrm{d}\varphi$，$\varphi$ 是导线对回路点的方位角。回路不包围导线时，绕行一圈方位角净变化 $\Delta\varphi = 0$，环流为 0；包围时 $\Delta\varphi = \pm 2\pi$，给 $\pm\mu_0 I$。空间一般回路的严格证明用"对顶圆锥面"（以导线为公共轴的锥面上 $\vec{B}\perp\mathrm{d}\vec{l}$、积分为零，把 $L$ 与锥面拼成大回路），见课本。
圆柱外 $B\cdot 2\pi r = \mu_0 I$（FA）：对称性——长直均匀轴电流的磁感线是垂直于轴平面内绕轴的同心圆，$B$ 的大小只依赖 $r$；取圆形环路，$B$ 处处与 $\mathrm{d}\vec{l}$ 平行且等值，$\oint = B\cdot 2\pi r$。
螺线管"无径向、无环向分量"（FA）：由对称性加磁场高斯定理可排除另两个分量（取同轴圆柱面看径向通量为零、取跨内外的小矩形回路看环向分量为零），只剩轴向；再取一长 $l$、跨内外的矩形环路，$\oint \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{l} = B_{内}\,l = \mu_0\cdot n l I \Rightarrow B = \mu_0 n I$（详细推导见课本）。
托卡马克（FA）：本质是弯成环的螺绕环，$B = \mu_0 n I$ 只存在于环管内部（$n$ 为单位周长匝数，按环的中心线计算），管外磁场为零。
无限大薄板（FA）：线电流密度 $\delta$（A/m，垂直于电流方向单位宽度的电流）。对称性给出：板两侧的磁场与板平行、与电流垂直，两侧等大反向。取横跨板的矩形环路（两条长 $l$ 的边对称分居板两侧）：$\oint \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{l} = 2Bl = \mu_0\,\delta l \Rightarrow B = \dfrac{\mu_0\delta}{2}$，与到板的距离无关。（FA 补充）

2026.10.20（12.4 磁场对电流的作用 · 12.5 带电粒子在电场和磁场中的运动）¶

小测：下周。讲到哪考到哪。期中：考到电磁感应。

12.4 磁场对电流的作用¶

一、安培力。电子在磁场中受洛伦兹力 $\vec{F} = q\vec{v}\times\vec{B}$。

载流导线在磁场中受安培力 $F = BIL$：

\[\mathrm{d}\vec{F} = I\,\mathrm{d}\vec{l}\times\vec{B}, \qquad \vec{F} = \int \mathrm{d}\vec{F} = \int_0^l I\,\mathrm{d}\vec{l}\times\vec{B} \qquad \text{（先投影后积分）}\]

左手定则：四指指 $I$，$B$ 穿手心，大拇指指正电荷受力方向。

？（FA，何时左右手定则分别怎么用？）

若磁场由另一个电流元激发：

\[\mathrm{d}\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I_1\,\mathrm{d}\vec{l}_1\times\hat{r}}{r^2} \;\Rightarrow\; \mathrm{d}\vec{F}_{21} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{4\pi}\,\frac{\mathrm{d}\vec{l}_2\times(\mathrm{d}\vec{l}_1\times\hat{r})}{r^2} \qquad \text{（会推导）}\]

\[\mathrm{d}\vec{F}_2 = I_2\,\mathrm{d}\vec{l}_2\times\mathrm{d}\vec{B} \qquad \text{（FA，不懂）}\]

且电流元间作用力 $\ne$ 反作用力（因为电磁场本身有动量，总动量仍守恒）。

二、平行长直载流导线间的作用力

\[\mathrm{d}\vec{F}_2 = I_2\,\mathrm{d}\vec{l}_2\times\vec{B}_1, \qquad B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi d} \;\Rightarrow\; \frac{\mathrm{d}F_2}{\mathrm{d}l_2} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}\]

若两导线距离 1 m，$I$ 相等，每米受力 $2\times 10^{-7}\ \mathrm{N}$，则导线上电流强度定义为 1 A。

可得真空磁导率 $\mu_0 = 4\pi\times 10^{-7}\ \mathrm{N/A^2}$。

e.g. 匀强磁场中直导线受力（高中所学）：$F = BIl\sin\theta$（$\theta$ 为导线与磁场夹角），方向由左手定则判断。（解答由AI补全）

三、磁场对平面载流线圈作用

合力为零，有力矩；任意形状线圈合力均为零。

力矩

\[M = F_{ab}\,l\sin\theta = BIL_1 l_2\sin\theta = BIS\sin\theta \;\xrightarrow{\ N\ \text{匝}\ }\ NBIS\sin\theta\]

（$F_{ab}$ 为 $ab$ 边所受安培力，$l\sin\theta$ 为力臂。）可写为

\[\vec{M} = \vec{p}_m\times\vec{B}, \qquad \vec{p}_m = NIS\hat{e}_n\]

$\vec{p}_m$ 称为载流线圈的磁矩，方向与电流成右螺旋（FA，不懂）。

（呼应：电偶极子 $\vec{M} = \vec{p}\times\vec{E}$？FA）

四、安培力做功

载流导线在磁场中运动：$A = I\Delta\Phi$（实际是产生磁通的电源在做功）。

转动：$\mathrm{d}A = -M\,\mathrm{d}\theta$（FA，不会了），与洛伦兹力不做功不矛盾。

\[= I\,\mathrm{d}\Phi \;\Rightarrow\; A = I\Delta\Phi = \int_{\Phi_1}^{\Phi_2} I\,\mathrm{d}\Phi \qquad \text{（}I\ \text{随时间变化时}）\]

【FA：12.4 各 FA 点补全】

左右手定则分别怎么用（FA）：判断受力（安培力、洛伦兹力）方向用左手定则——磁感线穿手心，四指指电流方向（或正电荷运动速度方向），拇指即受力方向；判断生磁（直导线周围磁场、线圈内部磁场、磁矩方向、螺线管 N 极）用右手定则/右手螺旋——四指弯向电流绕向，拇指即磁场方向。一句话：受力用左手，生磁用右手。
$\mathrm{d}\vec{F}_2 = I_2\mathrm{d}\vec{l}_2\times\mathrm{d}\vec{B}$（FA，不懂）：这就是安培力微分公式本身——把导线 2 的电流元 $I_2\mathrm{d}\vec{l}_2$ 放进导线 1 的电流元产生的元磁场 $\mathrm{d}\vec{B}$ 中，套 $\mathrm{d}\vec{F} = I\mathrm{d}\vec{l}\times\vec{B}$ 即得。两式连读就是"电流元 1 产生场 → 场对电流元 2 施力"的场媒介图像。
$\mathrm{d}\vec{F}_{21}$ 的推导（会推导）：把毕奥–萨伐尔元磁场 $\mathrm{d}\vec{B} = \dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{I_1\mathrm{d}\vec{l}_1\times\hat{r}}{r^2}$ 代入 $\mathrm{d}\vec{F}_2 = I_2\mathrm{d}\vec{l}_2\times\mathrm{d}\vec{B}$ 即得 $\mathrm{d}\vec{F}_{21} = \dfrac{\mu_0 I_1 I_2}{4\pi r^2}\,\mathrm{d}\vec{l}_2\times(\mathrm{d}\vec{l}_1\times\hat{r})$，注意 $\hat{r}$ 由电流元 1 指向电流元 2。
磁矩方向与电流成右螺旋（FA，不懂）：右手四指弯向线圈电流的绕向，大拇指即 $\hat{e}_n$（磁矩方向）——也就是这块通电线圈等效小磁针的 N 极指向。
电偶极子呼应（FA）：对，完全平行——电偶极子在均匀电场中受力矩 $\vec{M} = \vec{p}\times\vec{E}$，磁偶极子（载流线圈）在均匀磁场中受力矩 $\vec{M} = \vec{p}_m\times\vec{B}$；连势能形式都对应（$-\vec{p}\cdot\vec{E}$ 与 $-\vec{p}_m\cdot\vec{B}$），均匀场中合力均为零、只受力矩转到取向稳定。
$\mathrm{d}A = -M\mathrm{d}\theta$（FA，不会了）：线圈转过 $\mathrm{d}\theta$ 时磁通变化 $\mathrm{d}\Phi = -BS\sin\theta\,\mathrm{d}\theta$（$\theta$ 为 $\hat{e}_n$ 与 $\vec{B}$ 的夹角），而磁力矩 $M = BIS\sin\theta$，两式消去 $BS\sin\theta$ 得 $\mathrm{d}A = -M\mathrm{d}\theta = I\,\mathrm{d}\Phi$。负号的物理：磁力矩总想把线圈转向 $\theta = 0$（磁矩顺外场），若沿 $\theta$ 增大方向转，安培力做负功。这与"洛伦兹力不做功"不矛盾——对导线做功的能量来自维持电流的电源，洛伦兹力的两个分量分别垂直于电子漂移速度和垂直于导线运动方向，合起来只起"能量中转"作用。（FA 补充）

12.5 带电粒子在电场和磁场中的运动¶

\[q\vec{E} + q\vec{v}\times\vec{B} = m\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\frac{m\vec{v}}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\right]\]

1° 与磁场平行：$F = 0$，匀速直线；

2° 与磁场垂直：圆周；

3° 一般：螺旋（上述组合）。

一、圆周：

\[qvB = m\frac{v^2}{R} \;\Rightarrow\; R = \frac{mv}{qB}, \qquad T = \frac{2\pi R}{v} = \frac{2\pi m}{qB} \qquad \text{（与 } v\ \text{无关）}\]

二、螺旋：$v_{\parallel} = v\cos\theta$，$v_{\perp} = v\sin\theta$。

\[R = \frac{mv\sin\theta}{qB}, \qquad \text{螺距 } h = v_{\parallel}T = \frac{2\pi m}{qB}\cdot v\cos\theta\]

e.g. 磁聚焦（FA）；磁约束（FA）；范阿仑辐射带（FA）。

【FA：磁聚焦 · 磁约束 · 范阿仑辐射带】

磁聚焦：一束速率相近、方向略有发散的带电粒子，以与磁场成小角 $\theta$ 入射。由 $T = \dfrac{2\pi m}{qB}$ 与 $v$、$\theta$ 无关，各粒子转一圈的时间相同；平行速度 $v\cos\theta$ 也几乎相同，于是前进一个螺距 $h$ 后重新会聚到一点——像透镜聚焦光线一样。
磁约束：螺旋运动的带电粒子进入磁场由弱变强的区域时，磁矩 $\dfrac{mv_\perp^2}{2B}$ 近似不变，$B$ 增大迫使 $v_\perp$ 增大、$v_\parallel$ 减小；磁场足够强处 $v_\parallel = 0$，粒子被"反射"回来——相当于一面磁镜。两个磁镜相对就能把带电粒子（等离子体）兜在中间，受控核聚变的磁约束即用此原理。
范阿仑辐射带：地球磁场近似偶极场，两极强、赤道弱，是天然的"磁镜笼"。太阳风带来的高能带电粒子被捕获在赤道上空的环状区域内，绕磁力线螺旋并南北反弹，即为范阿仑（范艾伦）辐射带；部分粒子沿磁力线落入极区大气，激发出极光。（FA 补充）

用法	作用对象	结果	静电场中的身份
\(\nabla U\) 梯度	标量场	矢量	\(\vec{E} = -\nabla U\)（见 9.8）
\(\nabla\cdot\vec{E}\) 散度	矢量场	标量	\(= \rho/\varepsilon_0\)（高斯定理微分形式）
\(\nabla\times\vec{E}\) 旋度	矢量场	矢量	\(= 0\)（环路定理微分形式）